全国名校双曲线测试卷答案与提示

一、选择题

1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.A 7.D 8.D 9.A 10.A 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D 16.B 17.C 18.C 19.C 20.C 21.A 22.C 23.A 24.A

二、填空题

三、解答题

35.设符合题意的直线l存在,并设P(x1,x2),Q(x2,y2)。

36.(1)因为离心率e=,所以设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0)。

所以双曲线方程为x2-y2=6。

(2)若点M(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,m2=3。

37.(1)解法1,依题意知a2+b2=4。设双曲线方程为=1(0＜a2＜4),将点(3)代入上式,得=1。解得a2=18(舍去)或a2=2,所求双曲线的方程为。

解法2：依题意得,双曲线的半焦距c=2。2a=|PF1|-|PF2|==,a2=2,b2=c2-a2=2。

双曲线C的方程为

(2)依题意知直线的斜率存在,可设直线l的方程为y=kx+2。代入双曲线C的方程并整理得：

38.(1)设P(x1,y1)是双曲线上任意一点,该双曲线的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0。

点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数。

(2)设P的坐标为(x,y),则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+

因为|x|≥2,所以当x=时,|PA|2的最小值为,即|PA|的最小值为。

39.(1)设OA=m-d,AB=m,OB=m+d。

由勾股定理可得：

(2)不妨设l1：y=,过F的直线方程为y=,与双曲线方程=1联立,将a=2b,c=代入,化简得

(2)设P的坐标为(x0,y0),则Q的坐标为(-x0,-y0)。

λ==(x0,y0-1)·(-x0,-y0-1)=

因为|x0|≥,所以λ的取值范围是(-∞,-1]。

(3)若P为双曲线C上第一象限内的点,则直线l的斜率。

当k∈时,s(k)=

s可表示为直线的斜率k的函数：

41.(1)设双曲线C的方程为=1(a＞0,b＞0)。

(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)。点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组

此方程有两个不等实根,于是5-4k2≠0,且Δ=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)＞0,整理得m2+5-4k2＞0。③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标(x0,y0)满足

从而线段MN的垂直平分线方程为y-

此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为

由题设可得：

所以k的取值范围是