双曲线中的六类易错题型

■河南科技大学附属高级中学 曲少宁

双曲线是圆锥曲线的重要内容之一,也是高考必考内容。从近几年高考情况来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的热点,但由于学生对概念或公式理解模糊,以及一些细节把握不准确,从而导致出现不同类型的错误。所以同学们在解题时,要密切注意一些易错点,下面就同学们解题中易错的类型进行简要总结分析。

易错点一：对定义理解不透彻,忽视双曲线定义中的限制条件

例1已知两圆C1：(x+5)2+y2=9,C2：(x-5)2+y2=9,动圆C与圆C1外切,且与圆C2内切,求动圆圆心C的轨迹方程。

错解：设圆C的半径为r,则由题意知|CC1|=r+3,|CC2|=r-3,|CC1|-|CC2|=6,故圆心C的轨迹是以C1,C2为左右焦点的双曲线。

2a=6,a=3,c=5,b2=c2-a2=16,所以圆心C的轨迹方程是

错解分析：忽视双曲线定义中是差的绝对值,误以为所求的轨迹是整个双曲线。

正解：设圆C的半径为r,则由题意知|CC1|=r+3,|CC2|=r-3,|CC1|-|CC2|=6,故圆心C的轨迹是以C1,C2为左右焦点的双曲线的右支。 2a=6,a=3,c=5,b2=c2-a2=16,所以圆心C的轨迹方程是=1(x≥3)。

变式已知A(-3,0),B(3,0)。

(1)若|PA|-|PB|=6,则P点的轨迹_____；

(2)若|PA|-|PB|=8,则P点的轨迹_____；

(3)若|PA|-|PB|=4,则P点的轨迹____。

解析：(1)|PA|-|PB|=|AB|,由平面几何知识可知,P点的轨迹是以B为端点的一条射线,点P的轨迹方程为y=0(x≥3)。

(2)|PA|-|PB|＞|AB|,与三角形两边之差小于第三边相矛盾,故轨迹不存在。

(3)因为|PA|-|PB|＜|AB|,所以P点的轨迹是双曲线的右支,其中A、B为左、右焦点, 2a=4,a=2,c=3,故P点轨迹方程为=1(x≥2)。

例2已知P是双曲线=1 上一点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=17,求|PF2|的值。

错解：由双曲线的定义可知,||PF1|-|PF2||=2a=16。因为|PF1|=17,所以|PF2|=1或|PF2|=33。

错解分析：忽视了双曲线上点的隐含条件。由|PF1|=17,可以确定点P在左支上,解得|PF2|=33。

正解：由双曲线的定义可知, 若P在右支上,则|PF1|≥a+c=18。而已知|PF1|=17,故P在左支上。则|PF2|-|PF1|=2a=16,|PF2|=33。

易错点二：忽视焦点的位置

例3求与双曲线有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程。

错解：双曲线的渐近线方程为y=,故所求双曲线的渐近线方程也为y=。设所求双曲线方程为=1(a＞0,b＞0),又,且M(2,-2)在双曲线上,则=1,b2=-2,故不存在这样的双曲线。

错解分析：双曲线的焦点位置不确定,焦点可能在x轴上,也可能在y轴上。

正解：(解法一)双曲线的渐近线方程为,故所求双曲线的渐近线方程也为。若所求双曲线的焦点在x轴,设所求双曲线方程为1(a＞0,b＞0),又,且M(2,-2)在双曲线上,则=1,b2=-2,焦点在x轴上不成立。若所求双曲线的焦点在y轴上,设方程为=1(a＞0,b＞0),则。且过M(2,-2),解得a2=2,b2=4。所求双曲线方程为

小结：与有公共渐近线的双曲线系可以设为。

例4若方程表示双曲线,求m的取值范围。

错解：因为=1表示双曲线,所以3+2m＞0且2+2m＞0,解得m＞-1。

错解分析：焦点位置需讨论。

正解：(解法一)若方程=1,若表示焦点在x轴的双曲线,则3+2m＞0且2+2m＞0,解得m＞-1；若表示焦点在y轴的双曲线,则3+2m＜0且2+2m＜0得

所以m＞-1或

易错点三：在直线与双曲线位置关系中,忽视了判别式这一前提条件

例5已知双曲线,问过点P(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于M,N两点,且P为线段MN的中点。若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由。

错解：(解法一)设存在这样的直线l,直线的斜率k存在,设M(x1,y1),N(x2,y2),双曲线方程可化为2x2-y2=2,则= 2。两个式子相减得2(x1-x2)·(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0。P为线段MN的中点,则x1+x2=2,y1+y2=2,4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,得k=2。所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0。

(解法二)假设存在这样的直线,显然直线的斜率存在,假设直线的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k。代入双曲线方程2x2-y2=2,化简整理得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0。设M(x1,y1),N(x2,y2),则2-k2≠0且x1+x2=2。又x1+x2=,解得k=2。

所求直线方程为2x-y-1=0。

错解分析：解法一,解法二都没有验证直线是否与曲线有两个交点,而把所求直线与双曲线联立时发现得到的一元二次方程的判别式小于零,答案错误。

正解：(解法一)过程同错解,得到2x-y-1=0,将y=2x-1 代 入2x2-y2=2 中,得到2x2-4x+3=0,Δ=b2-4ac=-8＜0,所以不存在这样的直线。

(解法二)过程同错解,化简整理得,

(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0。

设M(x1,y1),N(x2,y2),因l与双曲线交于M,N两点,且P为线段MN的中点,故2-k2≠0,Δ＞0,x1+x2=2。经计算k无解,故不存在这样的直线。

小结：解决直线与双曲线位置关系问题时,必须判断直线与双曲线的交点个数,一种方案是将计算结果代入,验证判别式是否大于零,另外一种方案是联立后先解Δ＞0,从而找到限制条件。

易错点四：焦点弦的弦长问题

例6过双曲线x2-y2=1 的右焦点作直线交双曲线于M,N两点。

(1)若|MN|=2,则这样的直线可作____条。

(2)若|MN|=3,则这样的直线可作_____条。

错解：(1)因为直线过右焦点,而通径=2=|MN|,所以只有一条满足题意。

错解分析：在双曲线中过焦点的所有弦中,误以为通径最短。实际上,过焦点且交于同一支的所有弦中通径最短,而过焦点且交于两支所有弦中最短的弦为实轴。

正解：(1)若直线与右支有两个交点,由题意知通径=2=|MN|,此时只有一条直线满足条件；若直线与左右两支各有一个交点,|MN|=2=2a,而2a为两顶点间距离,故此时只有一条直线满足条件。

所以当|MN|=2时,这样的直线共有两条。

所以当|MN|=3时,这样的直线共有四条。

易错点五：忽视二次项系数

例7直线l：y=k(x-1),双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围：

(1)直线l与双曲线有两个公共点；

(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点。

错解：y=k(x-1)代入x2-y2=4得：

(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0。

(1)直线l与双曲线有两个公共点,则：

(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点,则Δ=0,解得

错解分析：联立后的(1-k2)x2+2k2xk2-4=0式子中,二次项系数为1-k2可能为正,可能为负,也可能为零。

正解：y=k(x-1)代入x2-y2=4得：

(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0。

(1)直线l与双曲线有两个公共点,则：

1-k2≠0,且Δ＞0。

(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点,则①1-k2=0；②1-k2≠0且Δ=0。

解得k=±1或k=

易错点六：忽视直线斜率不存在

例8已知双曲线方程=1(a＞0,b＞0)的两条渐近线方程分别为l1：y=2x,l2：y=-2x。

(1)求双曲线方程E的离心率。

(2)O为坐标原点,动直线l分别交l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),△ABO的面积恒为8,试探究是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E。若存在,求出双曲线方程E的方程；若不存在,说明理由。

解析：(1)两条渐近线方程分别为l1：y=2x,l2：y=-2x,所以。

设直线l方程为y=kx+m,依题意得k＜-2或k＞2。

联立y=kx+m与y=2x,得y1=

由S=|OC|·|y1-y2|得=8,整理得m2=4|4-k2|=4(k2-4)。①

将y=kx+m代入=1中,得：

(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0。

因双曲线E与直线l有且只有一个公共点,且4-k2＜0,故Δ=0。

(-2km)2-4(4-k2)(-m2-4a2)=0。

展开合并化简得m2+4a2-a2k2=0。将①代入得,4k2-16+4a2-a2k2=0。

整理得(4-k2)(a2-4)=0,所以a2=4。

错解分析：直线的斜率不一定存在,所以不能直接设直线方程y=kx+m,应该分为斜率存在与不存在这两种情况讨论。

正解：由(1)知双曲线的方程为=1,设直线l与x轴交于C点。

当l⊥x轴,双曲线E与直线l有且只有一个公共点,直线l过双曲线的右顶点,此时l的方程为x=a, 则|OC|=a,|AB|=4a。因△ABO的面积恒为8,所以|OC|·|AB|=8,解得a=2。

当l不与x垂直,同错解部分。

综上所述,总存在与直线l有且只有一个公共点的双曲线E,且双曲线E方程为=1。

练习题：

1.在△ABC中已知|AB|=4,2sinA-2sinB=sinC,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程。

解析：以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴,建立直角坐标系。因为|CB|-|CA|=,所以点C的轨迹为双曲线的右支。则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y)(x＞1)。

由2sinA-2sinB=sinC得,|CB|-|CA|=,所以C的轨迹方程为x2-=1(x＞1)。

2.已知双曲线的一条渐近线方程为2x-3y=0,且焦距为,求双曲线的标准方程。

解析：一条渐近线方程为y=,若焦点在x轴上,设所求双曲线方程为1,且。又c= 13,解得=1。若焦点在y轴上,设所求双曲线方程为=1,且。又c= 13,解得=1。

解析：若表示焦点在x轴上的双曲线,则a2=m2+n,b2=3m2-n。又c=2,a2+b2=c2,解得m2=1。又由m2+n＞0且3m2-n＞0,可得-1＜n＜3。

若表示焦点在y轴上的双曲线,则= 1,化为=1。则a2=n-3m2,b2=-m2-n。又由c=2,a2+b2=c2,解得m2=-1(舍去)。

故选A。