两人非合作-合作两型博弈在企业战略联盟中的应用

王盼盼， 南江霞,2， 关 晶

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004；2.桂林电子科技大学 广西高校数据分析与计算重点实验室，广西 桂林 541004)

企业战略联盟是2个或2个以上的经济实体为了实现特定的战略目标而采取的任何股权或非股权形式的共担风险、共享利益的长期联合与合作协议。竞争公司往往为了达到各自的战略目标，在增加收益的同时减少风险、充分利用宝贵资源等3个目标走向联盟的道路。企业之间往往存在竞争与合作共存的状态。如2018年4月9日，橙家与苏宁易购正式宣布展开战略合作[1]，双方拟携手解决“整装+家电”难题。一方是依托碧桂园集团优势资源，打造出业内最短30天工期、单月营收突破1亿的快时尚家居领导品牌；另一方是在家电行业深耕28年的中国智慧零售巨头。此次橙家与苏宁双方强强联手,标志着家装产品与家电资源枢纽被打通，家装家电被整体打包。此次联姻让橙家与苏宁构建家装效率生态联盟，让双方得以优势互补、资源共享。一方面，家装生态链打通前中后端，推进苏宁易购家装智慧零售领域布局；另一方面，橙家效率再提速，进一步为用户一站式解决装修问题。联盟可以创造出更多的收益，利益的分配又取决于联盟的策略选择，

在橙家与苏宁易购展开战略合作的例子中，既有策略的选择又有利益的分配，这种企业战略联盟问题实质上是既有竞争又有合作的博弈问题。为解决此类博弈问题，Brandenburger和Stuart[2]提出了Biform game的概念，称为非合作-合作两型博弈。该类博弈分为2个阶段：第一阶段，局中人选取策略，形成策略组合，但策略组合并不能直接产生支付，而是形成第二阶段的竞争环境，为非合作博弈阶段；第二阶段，在第一阶段的策略组合下合作并进行利益分配，为合作博弈阶段。把合作博弈的解作为非合作博弈的支付值，最终转化为多人非合作博弈求解问题。目前，一些研究者对非合作-合作两型博弈进行了应用研究。Stuart[3]运用非合作-合作两型博弈模型研究价格竞争下的报童问题。Plambeck和Taylor[4]运用非合作-合作两型博弈研究原始设备制造商(OEM)和合同制造商(CM)之间的投资博弈问题。Feess和Thun[5]用非合作-合作两型博弈模型分析生产链上存在的策略选择和收益分配问题。Anupindi等[6]运用非合作-合作两型博弈的方法研究由N个零售商和W个仓库所构成的配送系统在各零售商独立决策情况下的库存和转运决策问题。Fandel和Trockel[7]利用非合作-合作两型博弈，第一次尝试在供应链中将2家公司的订单决定和库存结合。通过查阅文献发现非合作-合作两型博弈的相关研究文献匮乏。而对于局中人数大于两人的非合作博弈的均衡点的求解是一个十分困难的问题，目前尚未有适用于一般性博弈问题均衡点的计算方法。但对于两人的非合作博弈，能够给出非常有效的计算方法。因此，对两人非合作-合作两型博弈进行了深入研究，且得到较好的效果。

1 预备知识

首先给出双矩阵博弈的概念。

定义1[8]在博弈G=[N,{Si},{Pi}]中，若满足：1) 只有2个局中人，即N={1,2};2) 策略集有限，即S1={α1,α2,…,αm}，S2={β1,β2,…,βn}。对任意的策略组合(αi,βj)，记支付函数P1(αi,βj)=aij，P2(αi,βj)=bij，得到局中人1和局中人2的支付矩阵分别为A和B，此类博弈称为双矩阵博弈，简记为(A,B)。

双矩阵博弈的解为其纳什均衡点，但大多数双矩阵博弈纯策略纳什均衡点不存在，因此，下面给出混合策略及混合策略纳什均衡点的定义。

定义2[8]若局中人1和局中人2的策略集分别为

S1={α1,α2,…,αm}，

S2={β1,β2,…,βn}，

则局中人1和局中人2的混合策略分别为

Xm={x=(x1,x2,…,xm),|xi≥0,

Yn={y=(y1,y2,…,yn),|yi≥0,

即局中人1对每个纯策略αi以概率xi进行选择，则x=(x1,x2,…,xm)称为局中人1的一个混合策略。特别地，若存在一个xi=1，则混合策略为一个纯策略；同理，局中人2对每个纯策略βi以概率yi进行选择，则y=(y1,y2,…,yn)称为局中人2的一个混合策略。特别地，若存在一个yi=1，则混合策略为一个纯策略。

若取混合策略组合(x,y)∈Xm×Yn，则局中人1和局中人2的期望收益值分别为

定义3[8]设有一局势为(x*,y*)，若对局中人1和局中人2的所有混合策略 (x,y)∈Xm×Yn都满足

xTAy*≤x*TAy*，

x*TBy≤x*TBy*，

则称(x*,y*)为双矩阵博弈(A,B)的混合策略纳什均衡点，x*,y*分别为纳什均衡策略，并称u*=x*TAy*与v*=x*TBy*分别为局中人1和局中人2的均衡值。

目前，为了获得更多的利益，个个企业选择联盟，但每个企业选择的策略不同又会影响到整个联盟的收益，此类博弈既有策略的选择又有利益的分配。为解决此类博弈问题， Brandenburger等[2]提出了Biform game的概念，其定义如下。

定义4[2]设局中人集合为N={1,2}，ρ(N)为集合N的幂集，两人非合作-合作两型博弈表示为

(S1,S2;V;α1,α2)。

其中：

1)对任意局中人i∈N，S1,S2分别为局中人1和局中人2的策略集；

2)在策略组合(αi,βj)∈S1×S2下，(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，V是一个映射，即，V(αi,βj):ρ(N)→R，对于每个A⊆N，V(αi,βj)(A)表示当局中人选择策略组合(αi,βj)时，由某些局中人组成的联盟A所创造的该联盟的总价值，且对于任何策略组合(αi,βj)∈S1×S2，均有V(αi,βj)(φ)=0；

3)对于任意局中人i∈N，0≤αi≤1，αi为局中人i的信心指数。

用Shapley值求解合作博弈的解，其定义如下。

定义5[9]在两人合作博弈V(αi,βj)(N)中，Shapley值是n维向量：

φ(αi,βj)(N)=(φ1(αi,βj)(N),φ2(αi,βj)(N))。

其中，对任意的局中人i∈N，有

φi(αi,βj)(N)=

[V(αi,βj)(T)-V(αi,βj)(T{i})]，

称为局中人i在合作博弈V(αi,βj)(N)中的分配值，|T|表示为联盟T中局中人个数，

表示联盟T出现的概率。

V(αi,βj)(T)-V(αi,βj)(T{i})

表示局中人i对联盟T的边际贡献。

2 非合作-合作两型博弈的解及性质

2.1 两人非合作-合作两型博弈解的定义及求解步骤

两人非合作-合作两型博弈的解是应用合作博弈相关理论求解每个策略组合下的解，然后运用非合作博弈理论求解纳什均衡，最后得到的纳什均衡，称为两人非合作-合作两型博弈的解，其定义如下。

定义6在两人非合作-合作两型博弈(Xm,Yn,;V;α1,α2)中，若存在策略组合(x*,y*)∈Xm×Yn，使得每一个局中人i∈N，对任意的(x,y)∈Xm×Yn都有

(1)

其中，φ1、φ2分别为局中人1和局中人2在第一阶段用Shapley值求解得到的支付矩阵，则称(x*,y*)是混合策略纳什均衡点，对应的纳什均衡值x*Tφ1y*和x*Tφ2y*为局中人1和局中人2在策略组合(x*,y*)下的收益值，两人非合作-合作两型博弈的解记为{(x*,y*);x*Tφ1y*,x*Tφ2y*}。

两人非合作-合作两型博弈解，其求解步骤为：

1)对于任意的策略组合(αi,βj)下，得到一个合作博弈V(αi,βj)(N)，用Shapley值求解每个策略组合下的合作博弈V(αi,βj)(N)的解，得到在每个策略局势下的局中人i(i=1,2)的分配值；

2)对于每个策略组合(αi,βj)，将第一步得到的局中人i(i=1,2)分配作为非合作博弈的支付值，构成非合作博弈，求解非合作博弈的纳什均衡解。

2.2 两人非合作-合作两型博弈解存在定理

根据两人非合作-合作两型博弈的求解步骤，该类博弈的求解最终转化为双矩阵博弈的纳什均衡解问题，由文献[10]可得到两人非合作-合作两型博弈最优解的存在的充分必要条件。

定理1策略组合(x*,y*)为两人非合作-合作两型博弈解的充分必要条件是(x*T,y*T,u*,v*)为双线性规划

(2)

的最优解。其中：em、en为m维和n维单位向量；u、v分别为局中人1和局中人2的期望收益值。

证明由双线性规划式(2)的约束条件立即可得

xTφ1y+xTφ2y+u+v≤0。

(3)

这表示双线性规划式(2)目标函数是非正的，即最大值为0。

设局势(x*,y*)为两人非合作- 合作两型博弈解，则

(4)

由定义3可知，(x*T,y*T,u*,v*)为双线性规划式(2)的最优解。

反之，设(x*T,y*T,u*,v*)为双线性规划式(2)的最优解，由式(3)可知

x*Tφ1y*+x*Tφ2y*+u*+v*=0。

(5)

设(x,y)∈Xm×Yn为局中人1和局中人2的策略，则xTem=1，yTen=1，且

(6)

特别地，可有

x*Tφ1y*≤-u*，x*Tφ2y*≤-v*。

利用式(5)可得

x*Tφ1y*=-u*，x*Tφ2y*=-v*。

再利用式(6)可得

由定义6可知，策略局势(x*,y*)两人非合作-合作两型博弈解。

此定理说明只要双线性目标规划有解，则两人非合作-合作两型博弈一定有解，利用Matlab软件求解双线性目标规划，则可得到两人非合作-合作两型博弈的解。

3 数值实例分析

例1现有两家企业1和企业2，他们做出各自的生产计划并同时宣布。假定每个企业都有3个可供选择的生产计划方案，分别记企业1和企业2的策略集S1=(α1,α2,α3)，S2=(β1,β2,β3)，则9个局势下的收益函数，如表1所示。

表1 不同局势下合作博弈的特征函数

用Shapley值求解，可得不同局势下合作博弈的解如表2所示。

表2 不同局势下合作博弈的解

由定理1求其混合策略纳什均衡策略，利用Matlab软件求解，可得混合策略为{(0,0.33,0.67)，(0.33,0.67,0)}，纳什均衡值为(5.83；6.17)，即，企业1以0.33的概率选择α2和0.67的概率选择α3且企业人2以0.33的概率选择β1和0.67的概率选择β2时收益最大，企业1的最大期望收益为5.83，企业2的期望收益为6.17。则例1的解为{(0,0.33,0.67)，(0.33,0.67,0)；5.83,6.17}。

4 结束语

两人非合作-合作两型博弈解决了一类简单的合作与竞争共存的博弈，即参与人只有两个，其策略可以有很多，这样的情况在现实中也是比较常见的，因为两人的非合作博弈求解比较方便，对于多于两人的非合作博弈没有一般的解决方法。创新点为1)对两人非合作-合作两型博弈的特征函数不用满足文献[2]中的加总性，无外部性，不相关性等条件即可存在解，因此拓展了模型的适用范围。2)用Shapley值求解，避免了文献[2]中核心不存在和核心为空的情况。