APP下载

具非局部源半线性抛物方程变号解爆破时间的下界估计

2019-11-28孙爱慧包开花

吉林大学学报(理学版) 2019年6期
关键词:对式方程解下界

孙爱慧,陈 鹏,李 岩,包开花

(1.吉林师范大学 数学学院,吉林 四平 136000;2.内蒙古民族大学 数学学院,内蒙古 通辽 028000)

考虑如下具非局部源的半线性抛物方程:

(1)

其中:Ω是n(n≥3)中具光滑边界的区域;表示边界∂Ω的外法向导数;p>1.初值且

(2)

自然界中的很多物理、化学和生物种群动力学现象,都可以用发展方程刻画.近年来,关于发展方程解爆破时间的下界估计已引起人们广泛关注[1-3].文献[4]研究了问题(1)解的存在唯一性;文献[5]讨论了问题(1)解的爆破条件;文献[6]研究了具齐次Dirichlct边界条件的半线性热方程解爆破时间的下界估计;文献[7-8]利用一阶微分不等式研究了具变指数源半线性抛物方程解的爆破时间下界.上述结果考虑的爆破解都是正解.受上述研究结果启发,本文考虑方程(1)变号解爆破时间的下界估计.

假设方程(1)的解在有限时刻T*爆破,下面利用一阶微分不等式并结合Sobolev嵌入不等式给出爆破时间T*的下界估计.

定理1设u(x,t)是方程(1)的解,φ(t)在T*时刻爆破,其中

(3)

常数k>max{(2n-4)(p-1),1},则φ(t)满足下列一阶微分不等式:

证明: 对式(3)两端分别关于t求导,并利用方程(1)和分部积分公式,有

对式(5)应用Hölder不等式,有

(8)

结合式(3),(7),(8),有

(9)

对式(9)应用ε-Young不等式,有

(10)

结合式(6),(10),有

(12)

对式(12)两端同时关于时间t积分,有

猜你喜欢

对式方程解下界
关于不定方程x2-pqy4=16的正整数解
关于商高数的Jeśmanowicz猜想*
Navier-Stokes-Coriolis方程解的长时间存在性
混水平列扩充设计的混偏差的下界
严格双对角占优矩阵行列式的上下界估计
Lower bound estimation of the maximum allowable initial error and its numerical calculation
伪双曲方程一个非协调混合元方法超收敛分析
如何辨别鼎足对与燕逐飞花对
对一个代数式上下界的改进研究
几类可积的Riccati方程解的性质