带有白噪声的Berger方程随机吸引子

汪 璇,宋 安

(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)

0 引 言

考虑U⊂2中具有光滑边界∂U有界开区域的随机Berger方程[1-2]：

(1)

假设方程(1)的非线性项f∈C2(),且满足如下条件:

增长性条件

(2)

耗散性条件

(3)

sf(s)≥C3(F(s)-1), ∀s∈+.

(4)

假设函数M:+→+是C1上的增函数,且存在正常数C4,使得

M(s)≤C4(1+sγ/2), 0<γ<1/2, ∀s∈+,

(5)

并且

(6)

本文考虑Berger方程中解的随机渐近性行为,用文献[13-15]建立的方法,通过引入同构映射构造等价过程,用渐近先验估计技术和算子分解方法验证解过程的紧性,进而证明Berger方程随机吸引子的存在性.为方便,本文中的C和Ci均表示正常数.

1 预备知识

设(X,‖·‖X)为可分的Banach空间,具有Borelσ-代数B(X).

定义1[13-15]设(Ω,F,)为概率空间,θt:Ω→Ω,t∈为一族保测变换,(t,ω)θtω为(B(+)×F,F )可测,且满足:

1)θ0=id;

2)θt+s=θtθs,∀t,s∈.

则称(Ω,F,,(θt)t∈)为可测动力系统.

定义2[13-15]设(Ω,F,,(θt)t∈)为可测动力系统,若映射φ:+×Ω×X→X为(B(+)×F×B(X),B(X))可测,且满足:

1)φ(0,ω)x=x,∀x∈X,ω∈Ω;

2)φ(t+s,ω)=φ(t,θsω)∘φ(s,ω),∀t,s∈+,x∈X,ω∈Ω.

则称(θ,φ)为X上的随机动力系统(RDS).进一步,若φ(t,ω):X→X是连续的,则称(θ,φ)为X上的连续随机动力系统.

定义4[13-15]设K(ω)为随机集,B为X中的任意有界子集,若存在tB(ω),使得对所有的t≥tB(ω),均有

φ(t,θ-tω)B⊂K(ω), -a.e.ω∈Ω,

则称K(ω)为X中的随机吸收集.

定义5[13-15]设K(ω)为随机集,B为X中的任意有界子集,若

其中,d(·,·)表示Hausdorff半距离,即

则称K(ω)吸引X中的有界集,即K(ω)称为X中的随机吸引集.

设φ(t,θ-tω)x表示系统在-t初始时刻、位于点x时在0时刻的轨迹,并且系统的吸引性从t=-∞开始.

定义6[13-15]若随机集A={A(ω)}ω∈Ω⊂X满足:

1) A是随机紧集;

2) A是不变的,即对∀t≥0,-a.e.ω∈Ω,φ(t,ω)A(ω)=A(θtω);

3) A吸引X中的所有确定的有界集B.

则称A为随机动力系统φ的随机吸引子.

定义7[13-14]设φ为可测动力系统(Ω,F,,(θt)t∈)及空间X上的连续随机动力系统,若存在随机紧集K(ω),使得对于任意非随机有界集B⊂X,均有则φ存在一个随机吸引子其中,B取遍X中的有界子集,ΛB(ω)是B的ω-极限集,即

定理1[13-14,16-17]连续的随机动力系统有随机吸引子的充要条件为系统存在紧的随机吸引集.

定理2[18]设-是Banach空间X上C0-半群T(t)=e-t的无穷小生成元,f:X×[t0,T]×Ω→X关于t∈[t0,T]是连续的,且在X上 -a.e.ω∈Ω一致Lipschitz连续,即存在L(ω)>0,使得

‖f(u,t,ω)-f(v,t,ω)‖≤L(ω)‖u-v‖,

则对每个u0∈X,-a.e.ω∈Ω,初值问题

存在唯一的温和解

并且映射u0→u是从X到C([t0,T];X)为 -a.e.ω∈ΩLipschitz连续的.

2 解的存在唯一性

〈y1,y2〉E=〈u1,u2〉2+〈v1,v2〉, ∀yi=(ui,vi)T∈E,

设A=Δ2,定义Hr=D(Ar/4),r∈,相应的内积和范数分别定义为

〈u,v〉r=〈Ar/4u,Ar/4v〉, ‖·‖r=‖Ar/4·‖.

则

(7)

其中λ1为Laplace算子A1/2在Dirichlet边值条件下的第一特征值.

设

(8)

由变换u=u,z=ut+εu-q(x)W可得如下随机偏微分方程:

(9)

与方程(1)相比,方程(9)没有随机导数项.令

则式(9)可以转换为

(10)

根据文献[18]可知,-L是E上一个C0-半群e-Lt的无穷小生成元.易验证函数G(·,ω):E→E对每个ω∈Ω是关于φ全局Lipschitz连续和有界的.由定理2可知,对每个φ(τ,ω)∈E,随机偏微分方程(10)均有唯一的温和解:

对任意的T>0及 -a.e.ω∈Ω,如下性质成立:

1) 若φ(τ,ω)∈E,则式(10)有唯一解φ(τ,ω)∈C([τ,τ+T);V)×C([τ,τ+T);H);

2)φ(t,φ(τ,ω))关于t和φ(τ,ω)连续;

3) 系统(10)在E上生成一连续的随机动力系统(θ,Sε(t,ω)),即

(11)

为了得到随机偏微分方程(1)和方程(9)解的共轭性,引入同构映射

R(θtω):y→(y1,y2-εy1+q(x)W(t,ω))T,y=(y1,y2)∈E,

其逆同构为

R-1(θtω):y→(y1,y2+εy1-q(x)W(t,ω))T,

即映射为

S(t,ω)=R(θtω)Sε(t,ω)R-1(θtω),

(12)

因而确定了方程(1)对应的随机动力系统.

构造变换

η1=u(t),η2=ut+εu(t).

(13)

引入同构映射Tε:y→(y1,y2+εy1)T,y=(y1,y2)T∈E,其逆映射T-ε:y→(y1,y2-εy1)T,则由映射

(14)

3 随机吸引子的存在性

类似于文献[19-20]可得以下结果.

引理1对于任意的φ=(u,z)T∈E,成立

证明: 由于

结合式(7),(8)并利用Young不等式,可得

证毕.

‖φ(-1,ω;φ(τ,ω))‖E≤r0(ω),τ≤T(B),

并且对于所有的τ≤t≤0,

(15)

z(t,τ)=ut(t)+εu(t)-q(x)W(t),

其中

同时,若将φ(-1)替换为η(-1)=(η1,η2)T=(u(-1),ut(-1)+εu(-1))T,也可得类似结果.

证明: 在E中对方程(10)两边分别用φ=(u,z)T做内积,得

(16)

其中

对式(17)右端每一项做如下估计:

(18)

根据式(5),(6)可知,

再利用条件(4)和式(21),可得

其中,

于是由Gronwall引理可得

令

(25)

且

(26)

证毕.

(27)

和

的解.

引理3如果非线性项满足条件(2)～(4),M(·)满足条件(5),(6),并设B⊂E为非随机集,则对任意的(u0,u1+εu)T∈B,有

其中:Y1=(y1,y1t+εy1)T,y1满足方程(27);τ≤0.

证明: 对方程(27)用v=y1t+εy1在L2(U)中做内积,可得

易知

(31)

由于M∈C1(+;+)且‖u‖2有界,故存在正常数C,使得M(‖u‖2)≤C,则

(32)

将式(31),(32)代入式(30),可得

(33)

-〈M(‖u‖2)Δy1,v〉≥0

(34)

将式(31),(34)代入式(30),可得

(35)

于是由Gronwall引理可知式(29)成立,证毕.

下面取σ=1/4.

(36)

成立,其中Y2=(y2,y2t+εy2-q(x)W)T,y2满足方程(28).

证明: 设Y2=(y2,y2t+εy2-q(x)W)T,则方程(28)可转换为

Y2t+LY2=N(Y2,ω),Y2(τ)=(0,-q(x)W(τ))T,

(37)

其中,

并且

用A(1+σ)/2Y2与式(37)在E上做内积,得

(38)

类似于引理1,可得

并且

运用Young不等式,有

(41)

并且

结合式(2),(15)及Sobolev嵌入定理知,f′(s)∈L∞(U),即存在l>0,使得

|f′(s)|L∞≤l.

(45)

由式(45),(7)及Young不等式,有

(46)

将式(39)～(44),(46)代入式(38),可得

应用Gronwall引理及引理3,可得

令

定理3如果非线性函数f∈C2()满足条件(2)～(4),M(·)满足条件(5),(6),且则方程(10)对应的随机动力系统S(t,ω)在E中拥有非空紧的随机吸引子A.

故对于所有的t≥0,有

d(Sε(t,θ-tω)B,B1(ω))→0,t→+∞.

从而方程(10)所确定的随机动力系统S(t,ω)有一致渐近紧的吸引集B1(ω)⊂E,即S(t,ω)在E中一致渐近紧.应用定理1可知,随机动力系统S(t,ω)在E中有非空紧的随机吸引子A.

注1若方程(1)满足两端固定的边界条件：

u(x,t)=u(x,t)=0,x∈∂U,t≥τ.

(49)