Post李超代数结构的性质

王 旭,魏 竹,张庆成

(东北师范大学 数学与统计学院,长春 130024)

Post李代数[1]与Yang-Baxter方程的解[2]、Rota Baxter代数[2]、LR代数[3]以及左对称代数[4]等密切相关.目前,关于post李代数的研究已取得了许多成果[1,5-8]: 文献[1]证明了post李代数作为交换环上三角代数的Ksozul对偶有重要的代数性质;文献[5]给出了post李代数的结构和半单李代数的广义导子；文献[6]验证了post李代数与李群上幂零仿射作用之间的联系.但目前关于post李超代数的研究结果较少[9],本文研究post李超代数结构的性质,给出post李超代数与其他超代数之间的联系.

定义1[9]若上的超向量空间V有两个双线性映射·和{,},使得(V,{,})是李超代数,且满足下列条件：

则称(V，·,{，})为post李超代数.

引理1[9]设(V,·,{,})是一个李超代数,定义[x，y]=x·y-(-1)|x||y|y·x+{x,y},则(V,[,]) 是李超代数.

定义2[9]设(G,N )是一对具有底空间V的李超代数,其中N=(V,{,}),G=(V,[,]).若V上有一个双线性映射·,使得对∀x,y,z∈V,满足下列关系式:

则称·为(G,N )上的post李超代数结构.

显然N=(V,·,{,})是post李超代数,G=(V,[,])是李超代数.

命题1令(V,·,{,})是post李超代数,定义

[x，y]=x·y-(-1)|x||y|y·x+{x,y},

则有

[x,y]·z=x·(y·z)-(-1)|x||y|y·(x·z).

证明:

命题2按上述定义,令·是(G,N )上post李超代数结构,则对∀x,y,z∈V,下列等式成立:

{x,y}·z=(-1)|x||y|(y·x)·z-(-1)|x||y|y·(x·z)-(x·y)·z+x·(y·z);

(6)

z·[x,y]=z·(x·y)-(-1)|x||y|z·(y·x)+z·{x,y};

(7)

证明：由定义1可直接得式(6).由定义2有x·y-(-1)|x||y|y·x=[x,y]-{x,y},在等式两端同时用z作用,则有

z·[x·y]=z·(x·y)-(-1)|x||y|z·(y·x)+z·{x,y}.

即式(7)得证.由

整理后即得式(8).

由Jacobi等式有

即式(9)得证.又由Jacobi等式有

再由式(9),有

即式(10)得证.

命题3设·是(G,N )上的post李超代数结构,且由x·y=0给出,则有(V,{,})=(V,[,]).

证明: 因为x·y=0,所以有[x,y]={x,y},即(V,{,})=(V,[,]).

命题4若n是可交换的,则由(G,N )上post李超代数结构可得到G上的一个左对称超代数结构.

证明: 因为n是可交换的,所以有{x,y}=0.由式(1)可得

(-1)|x||y|(y·x)·z-(-1)|x||y|y·(x·z)=(x·y)·z-x·(y·z),

由式(3)和式(4)分别得

x·y-(-1)|x||y|y·x=[x,y], [x,y]·z=x·(y·z)-(-1)|x||y|y·(x·z).

命题5若G是可交换的,则由(G,N )上的post李超代数结构可得N上的一个LR超代数结构.

证明: 因为G是可交换的,所以有[x,y]=0.由式(3)有{x,y}=(-1)|x||y|y·x-x·y.由式(4)有x·(y·z)=(-1)|x||y|y·(x·z).将{x,y}=(-1)|x||y|y·x-x·y代入式(5)得

又因为x·(y·z)=(-1)|x||y|y·(x·z),所以有

从而(x·y)·z=(-1)|z||y|(x·z)·y.

命题6设(G,N )是一对post李超代数,令λ∉{0,1,-1},则可定义(G,N )上post李超代数结构为x·y=λ[x,y]当且仅当{x,y}=(1-2λ)[x,y],且G,N均为至多阶为2的幂零李超代数.

证明: 假设x·y=λ[x,y]是(G,N )上post李超代数结构,则由式(3)可得

λ[x,y]-(-1)|x||y|λ[y,x]=[x,y]-{x,y},

于是

由式(4)及Jacobi等式,有

又因为λ∉{0,1,-1},所以[[x,y],z]={{x,y},z}=(x·y)·z=0.

设(G,N )是一对至多阶为2的幂零李超代数,满足{x,y}=(1-2λ)[x,y],x·y=λ[x,y],则有

因为x·y=λ[x,y],所以有

又因为(-1)|x||z|λ[[x,y],z]=(-1)|x||z|λ2[[x,y],z],所以

[x,y]·z=x·(y·z)-(-1)|x||y|y·(x·z).

当λ≠1/2时,令{x,y}=μx·y,μ=(1-2λ)/λ,则

注1当λ=0时,有x·y=0,[x,y]={x,y},由命题3可知(V,{,})=(V,[,]).当λ=1时,有x·y=[x,y]=-{x,y},此时x·y是(G,-G)上的post李超代数结构.

命题7设(G,N )是一对post李超代数,令μ∉{0,-1,-1/2},则可定义(G,N )上的post李超代数结构为x·y=μ{x,y}当且仅当[x,y]=(1+2μ){x,y},且G,N均为至多阶为2的幂零李超代数.

证明: 令x·y=μ{x,y}是(G,N )上的post李超代数结构,由式(3)可得

其中μ∉{0，-1，-1/2}.记x·y=λ[x,y](λ≠0),则有

所以[[x,y],z]={{x,y},z}=(x·y)·z=0.

反之,[x,y]=(1+2μ){x,y},且G,N均为至多阶为2的幂零李超代数,x·y=μ{x,y},则有

记x·y=λ[x,y],λ=μ/(1+2μ),其中μ∉{0,-1,-1/2},则有

所以[x,y]·z=x·(y·z)-(-1)|x||y|y·(x·z).又因为

所以x·{y,z}={x·y,z}+(-1)|x||y|{y,x·z}.

命题8令ρ∉{0,1},且{x,y}=ρ[x,y],则·是(G,N )上post李超代数结构当且仅当下列等式成立:

证明: 设·是(G,N )上的post李超代数结构,由式(3)可知

[x,y]-{x,y}=x·y-(-1)|x||y|y·x,

又因为{x,y}=ρ[x,y],所以有x·y-(-1)|x||y|y·x=(1-ρ)[x,y],即式(11)得证.

将式(11)等号两端同时用z作用,有

(1-ρ)[x,y]·z=(x·y)·z-(-1)|x||y|(y·x)·z,

即

(1-ρ)(x·(y·z)-(-1)|x||y|y·(x·z))=(x·y)·z-(-1)|x||y|(y·x)·z,

式(12)得证.

因为{x,y}=ρ[x,y],所以

又由式(11)有

即式(13)得证.

反之,由式(11)有

x·y-(-1)|x||y|y·x=[x,y]-ρ[x,y]=[x,y]-{x,y},

即式(3)成立.由

(1-ρ)[x,y]·z=(x·y-(-1)|x||y|y·x)·z=(x·y)·z-(-1)|x||y|(y·x)·z,

及式(12)有

(1-ρ)[x,y]·z=(1-ρ)(x·(y·z))-(-1)|x||y|(1-ρ)y·(x·z),

从而有[x,y]·z=x·(y·z)-(-1)|x||y|y·(x·z),即式(4)成立.又由式(11)有

再由式(13)有

(1-ρ)x·[y,z]=(1-ρ)[x·y,z]+(-1)|x||y|(1-ρ)[y,x·z],

所以

ρx·[y,z]=ρ[x·y,z]+(-1)|x||y|ρ[y,x·z],

即x·{x,y}={x·y,z}+(-1)|x||y|{y,x·z},即式(5)成立.

注3当ρ=1时,有[x,y]={x,y}.

定义3设·为(G,N )上的post李超代数结构,若满足[x,y]={x,y},且下列等式成立:

则称·为(G,N )上的交换post李超代数结构.

命题9若在(G,N )上存在交换post李超代数结构且[x,y]=0,则G=N是交换结合post李超代数.

证明: 设·为(G,N )上的交换post李超代数结构,由定义3知[x,y]={x,y},所以有G=N.由式(14)知

x·(y·z)=(-1)|z||y|x·(z·y),y·(x·z)=(-1)|y|(|z|+|x|)(x·z)·y,

从而有(-1)|x||y|y·(x·z)=(-1)|y||z|(x·z)·y,于是

(-1)|z||y|x·(z·y)=x·(y·z)=(-1)|x||y|y·(x·z)=(-1)|y||z|(x·z)·y,

所以x·(z·y)=(x·z)·y.