基于成形法加工的圆弧齿廓锥齿轮的刀具轨迹方程

孙 敏

（宁夏葡萄酒与防沙治沙职业技术学院，宁夏 银川750199）

关于成形法加工圆柱齿轮的技术已经日益成熟[1]，然而关于数控成形法加工圆弧齿廓锥齿轮的研究尚属空白[2]。数控成形法加工锥齿轮具有工序简单、加工效率高、生产成本低等优点，为了更好地将高精度、高效率的数控成形法应用于加工锥齿轮，研究其刀具的加工轨迹显得尤为重要。本文首先介绍数控成形法加工锥齿轮的原理，再通过三维模型说明了位于锥齿轮节圆锥上的刀具轨迹形成原理，最后通过坐标转换矩阵将平面齿轮的刀具轨迹转换到节圆锥曲面上，从而求出位于节圆锥曲面上的刀具轨迹的方程。

1 数控成形法加工技术在锥齿轮中的应用

数控成形法加工锥齿轮的原理是使成形刀具分别沿预定的两条轨迹运动，铣削出齿槽的两个齿面，在轮齿的任意法截面上，其齿廓形状相同、齿高相等[3]。由于锥齿轮的大端齿槽宽度和小端齿槽宽度不同，成形刀具无法同时铣削齿槽两面，因此需要成形刀具分别加工齿槽的左、右面。

在图1中，坐标系Og—XgYgZg为刀具坐标系，刀具轴向截形关于XgOgYg平面对称，刀具参考点On位于Xg轴上。在实际加工中，使刀具轴线Zg轴位于曲线22′的法平面内并且Xg轴垂直于节锥母线OP，Zg轴与直线OOn的夹角为α（α=90°-β，β为引导线在On点的螺旋角）。刀具参考点On沿节锥母线OP向点O运动的过程中，齿坯绕轴线OO2旋转。齿坯的转动角度、夹角α分别与点On到点O的距离存在函数关系，使刀具参考点On沿曲线22′运动，从而刀具右切削面加工出齿槽右面，同理使刀具参考点沿曲线44′移动，刀具左切削面可以加工出齿槽左面。

图1 盘形铣刀加工锥齿轮齿槽右面

图中：δ2为锥齿轮的节锥角，OO2为锥齿轮的回转轴线，Zg轴为刀具回转轴，刀具绕Zg轴转动的角速度为ω，曲线22′和曲线44′位于节圆锥曲面上。

2 盘形铣刀参考点轨迹的方程

2.1 刀具轨迹曲线的形成原理

当刀具加工平面齿轮（节锥角等于90°的锥齿轮为平面齿轮）时，刀具沿曲线33′移动包络出与曲线33′等距的齿线，理论上要求齿线为连续、无奇点、无拐点的曲线[4]。考虑到加工的方便性，通常选择直线或者圆弧为齿线（与齿线等距的刀具轨迹曲线也为直线或者圆弧）。在图2中节圆锥1和节圆锥2相切于直线OP，半径为OP的平面齿轮的节平面分别与节圆锥1、节圆锥2相切。当平面齿轮转动的时候，平面齿轮分别带动节圆锥1和节圆锥2绕各自的轴线做纯滚动（三者的转动方向如图2所示），位于平面齿轮上的曲线33′分别印到节圆锥1和节圆锥2的圆锥面上形成空间曲线11′、空间曲线22′，空间曲线11′和22′的旋向相反[5]。在曲线形成的过程中，空间曲线11′和22′始终做点接触，接触点位于节圆锥1和节圆锥2的切线OP上，将曲线11′、22′命名为刀具轨迹曲线[6]。

图2 锥齿轮引导线的形成原理

图中：δ1和δ2分别为节圆锥1、节圆锥2的节锥角，OO1、OO2分别为节圆锥1和节圆锥2的回转轴线，节圆锥1绕轴线OO1的转动角速度为ω1，节圆锥2绕轴线OO2的转动角速度为ω2，ZG轴为平面齿轮的回转轴，平面齿轮绕ZG轴的转动角速度为ωG。

2.2 刀具轨迹曲线的数学表达式

如果已知位于平面齿轮节平面上的任意曲线方程，如何推导出节平面曲线印在节锥曲面上的曲线方程，针对这一问题，本文根据平面齿轮与节圆锥之间的运动关系建立平面齿轮和节圆锥之间的转换矩阵，再将平面齿轮上任意曲线方程转换到节圆锥坐标系中，从而求出位于节圆锥曲面上的曲线方程[7]，为了更方便地研究节圆锥上的曲线方程，只分析平面齿轮和一个节锥角为δi的节圆锥的运动关系并令位于平面齿轮节平面上任意曲线的方程为ym=f2（xm）。

图3中，半径为OmP的平面齿轮的圆心和节锥母线长为OP的圆锥锥顶重合，PO′垂直于节圆锥轴线OiO′，平面齿轮以角速度ωG绕轴线kG转动并且带动节圆锥以角速度ω1绕轴线OiO′转动，空间曲线ii′是由平面齿轮曲线33′印到节圆锥曲面上的。在图3中分别建立以下四个坐标系：固定坐标系σG：（OG-iG，jG，kG），平面齿轮坐标系 σm：（Om-im，jm，km），固定坐标系 σO：（O-i，j，k），固节圆锥的动坐标系 σi：（Oi-ii，ji，ki）。

图3 刀具轨迹曲线的形成原理-初始位置

σG：（OG-iG，jG，kG） 为空间固定坐标系，OG与平面齿轮的圆心重合，iG轴重合于平面齿轮和节圆锥的切线 OP，kG轴为平面齿轮的回转轴线，iG、OG、jG平面和平面齿轮的节平面重合。

σm：（Om-im，jm，km）坐标系和平面齿轮固联，随平面齿轮绕自身轴线的转动而转动，Om和平面齿轮的圆心重合，km轴和kG轴重合，平面im、Om、jm与平面齿轮的节平面重合，坐标系σm在初始状态时，im、jm轴分别与iG、jG轴重合（如图4所示）。

σO：（O-i，j，k）是空间中的固定坐标系，坐标系的原点O位于圆锥锥顶且与平面齿轮的圆心Om重合，k轴和节圆锥轴线OiO′重合，iG轴和k轴位于同一平面内，令i轴位于iG轴和k轴所在的平面内（i轴和直线PO′平行）依据右手定则确定出j轴，j轴和固定坐标系σG的jG轴重合。

σi：（Oi-ii，ji，ki）和齿轮的节圆锥固联（坐标系随齿轮转动），该坐标系的原点O位于节圆锥的锥顶，ki轴为节圆锥的回转轴，坐标系σi在初始状态时，ii轴和i轴重合，ji轴和j轴重合。

平面齿轮上曲线33′和节圆锥上的曲线11′（或者22′）的交点始终位于平面齿轮和节圆锥的切线OP上。在运动关系图3中θ为坐标系σm中曲线33′任意点Jm的极径和im轴的夹角，点Jm的坐标为（xm，ym）。为使平面齿轮上任意曲线33′的点Jm印到节圆锥上，将平面齿轮中的点Jm旋转至iG轴线上，也就是将平面齿轮绕自身轴线回转θ角，同时平面齿轮带动节圆锥绕k轴转动e角（如图4所示），根据几何关系可以得到：θ＝ arctan（ym/xm），e= θ/sinδi。

图4 刀具轨迹曲线的形成原理-转动θ角后

各个坐标系之间的变换矩阵如下所示：

节圆锥曲面上空间曲线的方程为：

最后整理得到刀具参考点轨迹的方程为：

一对正确啮合的螺旋锥齿轮的齿线旋向相反，现假定锥齿轮1的齿线为左旋，则锥齿轮2的齿线为右旋。对于锥齿轮1，因其为左旋，则其平面齿轮应为右旋；而对于锥齿轮2，因其为右旋，则其平面齿轮应为左旋。两锥齿轮的平面齿轮齿线的旋向相反，因此，分别与两平面齿轮齿线等距的刀具轨迹曲线的旋向也相反。图3和图4描述的是左旋平面齿轮刀具轨迹曲线ym=f2（xm）与右旋节圆锥刀具轨迹的接触关系，其刀具轨迹方程如公式（1）。将左旋平面齿轮刀具轨迹曲线ym=f2（xm）关于im轴对称就变成右旋平面齿轮刀具轨迹曲线ym=f1（xm），也就是f1（xm）=-f2（xm），据此结合上式（1）可以求出左旋节圆锥刀具轨迹。

3 结论

本文运用图解法描述了平面齿轮曲线和节圆锥曲面曲线之间的关系，通过建立相关的转换坐标系将平面齿轮曲线方程转换到节圆锥坐标系中，从而求得节圆锥上刀具轨迹方程。在实际工程中编制数控程序时，须首先确定加工刀具的轨迹方程，然后使刀具参考点沿该轨迹移动，从而加工出齿面。本文的成果可以用于任何齿线锥齿轮的刀具轨迹方程计算，还可用于齿轮设计、齿面造型等场合。