关于高中数学解题中函数与方程思想的实例探究

黄雄伟

（福建省明溪县第一中学，福建明溪 365200）

引言

函数和方程思想是数学解题必备的思想方法，也是高中数学的精华。当学生掌握函数和方程解题的思想方法后，原本困难的题目将会迎刃而解，通过函数与方程思想，学生能迅速找到其中答题的技巧和方法，从而更好地提升数学能力。

一、数学函数及思想方法探究

数学函数思想在高中数学学习阶段是较为实用的思想方法[1]，如一些方程题目、不等式题目可将其转变为函数思想后进行解答，一些函数的解题思想可以为问题的解答提供相应的支撑。数学解题思想是解答题目的标准，其具有易掌握的优点，可为数学教育教学提供支撑点，解题思想是数学的核心内容，但要依据数学方法才能展现其核心性质。

（一）函数模型的一般呈现模型

高中数学函数模型多种多样，其中最常见的有“对钩函数”、二次函数、分段函数等。函数方程思想的实践操作可以根据以下步骤逐渐深入：解函数方程、参数方程的解答、对方程的解题探究、构造方程的解答。

（二）数学方程的一般解题思想

在解决一道数学问题时，运用方程的特性进行思考、改变、破解的过程就是运用方程思想的过程[2]。方程思想是将其运动中的逻辑关系转换为公式的方式来解决。然而其主旨是方程联系函数，将两者相结合解决实际数学问题。数学函数与方程两者一般在解题过程中相互结合、相互联系，若能发现它们之间的联系，掌握运用技巧，那么就能提高解题效率。方程与函数的结合运用一般先分析函数问题，然后建立两者之间的联系，得出方程式，问题自然迎刃而解。

二、函数与方程思想结合的实例

首先，建立函数之间的联系；其次，从建立的函数模型

结语

的特点入手，将方程与函数模型相结合，得出两者之间的联系；最后，轻松解决问题。下面笔者列举一些实例进行讲解。

【方法1】函数与方程思想在平面向量问题中的应用

【案例1】已知e1，e2是单位向量，，若平面向量b满足b·e1＝2，，且对于任意x，y∈R，|b-(xe1＋ye2)|≥|b-(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝____________，y0＝__________，|b|＝___________。

【解析】由条件可知，当且仅当x＝x0，y＝y0时，|b-(xe1＋ye2)|取到最小值1，

即|b-(xe1＋ye2)|2＝b2＋x2e21＋y2e22-2xb·e1-2yb·e2＋2xye1·e2＝|b|2＋x2＋y2-4x-5y＋xy在x＝x0，y＝y0时取到最小值1。(向量代数化)

又|b|2＋x2＋y2-4x-5y＋xy＝x2＋(y-4)x＋。(代数式函数化)

【反思】解决有关向量的模的问题时，常利用平方的方法把模问题转化为数量积问题，进而利用函数与方程思想，结合相关条件达到解决问题的目的。

【方法2】函数与方程思想在数列问题中的应用

【案例2】若a，b是函数f(x)＝x2-px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于 _________________。

不妨设a＞b＞0，则a，b，-2成等差数列，a，-2，b成等比数列，故，

可得q＝ab＝4。(数列代数化)

把a＝2b＋2代入ab＝4，整理可得b2＋b-2＝0，解得b＝1(负值舍去)，(函数、方程应用)

则有a＝4，那么p＝a＋b＝5，可得p＋q＝9，故填9。(得出结论)

【反思】将函数的零点问题转化为方程的根的关系，结合已知条件，抓住三个数成等差数列或成等比数列的中间项进行分析讨论，把数列问题转化为方程（函数）问题来解决，逻辑推理是解题的关键。

【方法3】函数与方程思想在解析几何问题中的应用

【案例3】设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x-5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点。若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )。

A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)

【解析】设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l的方程代入抛物线方程y2＝4x,整理得y2-4ty-4m＝0，(解几代数化)

则Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝-4m，

那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，

则线段AB的中点M(2t2＋m，2t)。

由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C(5,0)。

当t≠0时，有kMC·kAB＝-1，

把m＝3-2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3-t2＞0，即0＜t2＜3。

由于圆心C到直线AB的距离等于半径，

所以2＜r＜4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条。(函数应用)

当t＝0时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，

所以0＜r＜5。

综上可得，若这样的直线恰有4条，则2＜r＜4，故选D。(得出结论)

【反思】利用函数与方程思想解决直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系进行求解。“设而不求”（设直线、曲线方程、交点坐标，而不求交点坐标）是解析几何问题求解的常用方法，通过含参数的代数运算、不等式的求解等方法解决解析几何中的弦长、参数取值范围、定值、定点等问题。

根据以上实例可知，将函数与方程思想应用于解决相关数学问题，在高中数学学习阶段是较为实用的思想方法。函数的解题思想及对方程式进行巧妙处理可以为问题的解答提供有效而便捷的途径。

结语

总而言之，函数与方程的思想是高中数学函数解题部分的基本操作方法之一，数学本身也涉及这一方法，但是此方法不仅仅在数学领域上被运用，其中还包含考查学生的空间逻辑思维以及解题的认知能力、将一种实例多重运用的能力等。

数学中的函数与方程思想在高中学习数学中占比较大，在高考中也是重点考查的内容。在数学教学中教师应在函数这一部分内容中融入多元化的教学方式，通过实践或其他方式让学生清楚掌握函数和方程思想的具体应用，组织学生之间相互探讨，交换解题思路，共同解决问题。当然，也要使学生学会独立思考，提高解决问题的能力，让学生进一步加强对函数方程的运用能力，提高解题效率与准确率。