高中数学解题反思能力的培养管窥

陆国兵

（江苏省包场高级中学，江苏海门 226151）

引 言

解题反思其实是从一个新的层次或角度，反思整个解题过程和方法，全面分析整个解题行为，目的是深入理解问题，促使学生产生多样化、新颖性的思维模式，掌握更多的解题方式与技巧。在高中数学课程教学中，解题教学是重要构成部分，教师肩负着培养学生反思能力的重任，应指导他们自我反省与调节，以及学会反思，从而推动教学目标的顺利实现。

一、反思数学知识内容，构建完善知识体系

高中数学教师在解题教学中，需要引导学生反思解题过程中用到的知识，通过对题目的分析和解答，使其有条理、系统地掌握数据公式、定理知识等之间的内在联系，辅助他们构建完善的知识体系[1]。

例如，在教学“函数的奇偶性”时，教师列举题目：在定义域R 中奇函数是g(x)，偶函数是f (x)，当x ＝0 时，f (x) g'(x)＋f '(x) g (x)＞0，f (6)＝0，解关于x 不等式 f (x) g (x)＞0．在观察这一题目时，学生能发现同h(x)＝f (x) g (x)的导数关系比较密切，因此h(x)建构函数，当x ＞0 时，函数h(x)呈单调递增。该道数学题目着重考察新旧知识点之间的联系，学生要反思解题中用到的各个知识点，通过增强彼此之间的联系，顺利引入构造函数，引导他们积极反思，全面考虑题目中的知识点，主要是函数定义、奇偶性等相关内容，使其对题目的印象更加深刻。

在上述例子中，在高中数学解题教学中有不少类似题型，教师在指导学生反思知识点的同时，还应要求他们进一步理解与掌握这些知识点，培养他们触类旁通的知识迁移能力。

二、认真反思题目条件，积极开展变式教学

在高中数学解题教学过程中，要想发展学生的灵活思维水平，教师需组织学生对题目中的各个条件进行认真反思，包括已知条件、未知条件和隐含条件等，据此展开变式教学，通过一题多变，培养他们的解题反思能力[2]。

例如，在教学“不等式”时，教师设置练习题：解不等式3 ＜丨2x－3 ＜5．这道题并不难，教师要求学生反思题目中的条件，让他们运用多个解法解题。

解法一，依据绝对值的定义进行分类讨论求解：（1）当2x－3 ≥0 时，不等式能够转化成3 ＜2x－3 ＜5 →3 ＜x＜4；（2）当2x－3 ＜0 时，不等式能够转化成3 ＜－2x ＋3 ＜5 －1 ＜x ＜0，综上求得解集是{x 丨3 ＜x ＜4 或－1＜x ＜0}．

解法二，转化为不等式组求解：原不等式等价于丨2x - 3丨＞3且丨2x－3 丨＜5 3 ＜x ＜4 或－1 ＜x ＜0．

解法三，利用等价命题法原不等式等价于3 ＜2x－3 ＜5或－5 ＜2x－3 ＜－3，即为3 ＜x ＜4 或－1 ＜x ＜0．

如此，通过对题目条件的反思，让学生清楚地认识到条件和结论之间的关系，利用多种方法解答题目，让他们的思维更加灵活，选择最佳的方法来解题，有效锻炼了他们的反思能力。

三、不断反思解题方法，促进思维灵活深刻

对于高中数学知识体系来说，解题教学既属于教学重点部分，又是教学难点部分，为培养学生的解题反思能力，教师需要求学生不断反思解题方法，指引他们从不同角度与方位思考、探究和解答问题，拓展知识范围，使其思维变得更加灵活与深刻。

例如，教师可以罗列应用配方法求解的题组：（1）在正项等比数列{an} 中，a1×a5+2a3×a5+a3×a7＝25，那么a3+a5的值是什么？利用等比数列性质am-p×am+p＝am2，把已知等式左边后配方（a3+a5）2容易求出答案是5．（2）方程x2+y2-4kx-2y+5k ＝0 表示圆的充要条件是什么？配方成圆的标准方程形式（x-a）2+（y-b）2=r2，解得r2＞0．（3）已知sin4α+cos4α=1，则sinα+cosα 的值是什么？已知等式经配方成（sin2α+cos2α）2-2sin2αcos2α=1，求出sinαcosα，之后求出所求式的平方值，再开方求解．（4）求函数y ＝log1/2（-2x2+5x+3）的单调递增区间。配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解，答案为

上述例子，教师利用题组带领学生一起探究解题中应用的配方法，他们通过思考与讨论，思维变得更加灵活，增强对配方解题法的记忆，使其反思能力得以提升和改善。

四、反思数学结论作用，锻炼学生解题能力

在高中数学解题教学实践中，部分题目难度较小且结论运用得比较广泛，假如学生只是纯粹掌握解答问题的技巧与方法，没有深入讨论和反思结论，将会影响他们反思能力的发展。为此，高中数学教师在解题教学中，应带领学生一起反思结论的作用，尤其是函数类问题需给予格外关注，通过对结论作用的反思，培养他们的解题能力与反思能力。

以“三角函数”教学为例，教师设计以下题目。

（1）y=sinx2cosx+sinx+cosx 时，最大值是什么？

(2)设f (x2+1)=loga(4-x4)（a ＞1），求f (x)的值域．

解析：设x2+1=t，则有f (t)=loga[-(t-1)2+4]，所以求出值域是（-∞，loga4）．(3)已知实数x、y 满足x2+2xy-1 ＝0，求x+y 的取值范围．解析：设x+y，则x2-2kx+1=0，Δ=4k2-4 ≥0，所以，有k ≥1 或k ≤-1．

当学生得出这些道题目的结论后，教师要组织他们对结论进行重点反思，研究解题过程的相似处，发现均是采用换元法。

针对上述例题，教师先要求学生解答题目，完成解题任务后，再在小组内一起讨论这些结论，反思结论的作用，回顾和讨论整个解题流程，从而训练他们的解题反思能力。

五、着重反思易错问题，提高解题的正确性

高中数学是一门难度较大的学科，学生在学习时极易出现难点或疑点问题，使他们在解题过程中出现各种各样的错误，像概念、定义记忆混淆，公式使用错误，知识点记忆错误等。针对这些容易出现错误的问题，高中数学教师要高度重视，要求学生着重反思，以小组为单位进行深入探索和研究，深化解题印象，在反思中提高解题的正确性。

例如，在教学“充分条件与必要条件”一课时，教师设计练习题：时，a、x、b 成等比数列的（ ）A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件。错解C，当时，a、x、b 成等比数列成立，当a、x、b 成等比数列时，成立．正确解析应该是这样的：如果x ＝a ＝0，成立，不过a、x、b并不成等比数列，所以充分性不成立；反之，若a、x、b 成等比数列，则所以说不一定成立，必要性也就不成立，正确选项为D．学生产生错解的原因主要是对充分条件、必要条件等数学概念理解得不够透彻，只要找到产生错误的原因，就能够准确解题。

结 语

总之，在高中数学解题教学活动中，培养学生的反思能力相当有必要，教师要结合数学题目的特征优化解题教学，带领学生从知识点、题目条件、解题方法、结论和易错题等角度进行反思，全面提高他们的解题水平与反思能力。