例谈整体思想在高中数学解题中的应用研究

刘广华

(山东省济南市平阴县第一中学 250400)

一、整体代入

整体代入法在实际解题应用中，大部分被运用到代数解题中，通过将某些存在关联的算式看作整体，将之变形，可以代入另外公式中，而将不确定的变量求解过程简化，进一步减少解题的难度及过程，提升解题的准确率.而这种解题思想，在实际运用中，理解难度较低，因此，在很多代数式解题中，都得到了广泛运用.

例题1已知f(x)=ax3+bsinx+2，f(-1)=10，求f(1).

解(方法一)由f(-1)=10得f(-1)=a(-1)3+bsin(-1)+2=10，即，-[a×13+bsin1]+2=10.

∴[a×13+b·sin1]=-8,f(1)=a×13+b·sin1+2=-6.

在本题中，将a×13+b·sin1看作是一个整体，而代入f(1)中计算.

(方法二)令φ(x)=ax3+bsinx,则，f(x)=φ(x)+2.

由题意知φ(x)为奇函数，由f(-1)=10得f(-1)=φ(-1)+2=10.

∴φ(-1)=8,∴φ(1)=-8.f(1)=φ(1)+2=-8+2=-6.

在本题中，将φ(x)=ax3+bsinx看成整体，利用整体为奇函数解决问题.

因此，整体代入法考查的是学生需要学会将复杂的问题简单化，当无法从已知条件中提取问题中的未知量时，发现条件和问题之间的联系，通过整体代入方式将问题中的未知量用其他含有未知量的式子进行代替，从而代入最终问题实现消元进行求解.老师进行教学时，需要让学生感受到方法运用的优势，从课堂中培养学生观察细节的能力，渗透整体思想，加深对题目的理解.

二、整体换元

整体换元法是整体思想中的重要组成部分，对于高中数学中的多种题目类型的解答都具有重要的运用价值.在运用这种解题方法过程中，主要思想是通过分析，得到例题中所蕴含的数学法则，设未知数代表其中一部分公式值，从而使整个题目转化为简单算式，更加有利于减少不必要的步骤，降低运算难度，从而也降低了计算的出错率.

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.由Δ>0得m2<4+16k2①.

然后求得S△的最大值在t=1处取得.

因此，整体换元法的主要思想在于将其中的某个式子整体用变量替代，使问题的解决过程更加简化，因此，这种解题思想的实质是学会转化，通过构造元和设元的方式，实现式子之间的等量代换.通过代换，我们可以发现，原本将要面临的问题经过一系列步骤，所要运用的知识背景将会变得更加简洁、熟悉化、标准化，而这种改变正是进行整体换元的直接目的.

三、整体补形

在高中数学中，大部分几何图形类题目由于不规则及其特殊性，从而使解题的难度提升，不能够套用以往的解题方式.在这种情况下，如不能及时找到突破口，就会导致问题处理效率降低.而针对这类问题，能够通过添加辅助线等办法，将复杂的图形分割成几个简单图形或将图形放入长方体或正方体，从而利用长方体或正方体的特性简化过程，降低整体难度.例如一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为1，2，3，求这个三棱锥的外接球的半径.我们可以将两两垂直的棱看成长方体的三条棱，由于长方体都在一个球面上，所以三棱锥的顶点也在球面上，由长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径

四、整体思考

整体思想不仅要求我们掌握以上几种解题方式，也需要我们能够从问题的整体出发进行思考，在以往整体解题法无法得到实际效果时，应当及时转换思路.在高中数学阶段，很多问题往往由于给定的条件有限，我们很难从一、两个条件中得到最终答案的有效解题方案，因此，在这种情况下，我们应当积极利用隐藏条件，尝试将其转化为熟悉的解题套路.如，很多三角函数问题中，往往需要通过函数变形进行突破.

综上所述，我们在利用整体思想解决问题时，我们可以利用整体代入、整体换元、整体补形等多种方法，使用处理一些复杂问题时更加的简便，更能找到解决问题的关键，培养学生解题过程中的整体思想的运用是培养学生很重要的一个学科素养.