圆锥曲线离心率的求解策略

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，求圆锥曲线的离心率是解析几何中的重要题型，也是高考数学的高频考点.下表给出了近5年全国卷考查离心率的情况，其中文5表示文科数学第5题.本人对近几年高考试题进行了认真的分析、归纳和整理，总结出求圆锥曲线离心率的几种有效策略，阐述如下，希望对广大师生有所帮助.

20152016201720182019卷Ⅰ文5理15文4文10理16卷Ⅱ理11理11理9文11理12文12理11卷Ⅲ文12理11文11理10理11

分析由已知c=2，求出a，就可以求出椭圆的离心率．

点评本题考查椭圆简单性质的应用，考查计算能力．

例2(2018·新课标Ⅱ文11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为( ).

分析设椭圆的焦距为2c，利用已知条件求出|PF1|和|PF2|，根据椭圆的定义列出关于a、c的方程，即可求出椭圆的离心率．

图1

点评本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

图2

分析根据题意求出直线AP的方程和点P的坐标，再把点P的坐标代入直线AP的方程，得到关于a、c的方程，即可求出椭圆的离心率．

点评本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．

图3

分析画图，根据图形特征找出相等关系，列出关于a、c的方程，即可求出椭圆的离心率．

解答如图，连结OP、PF、FQ、QO，由题意知PQ和OF互相垂直、平分且相等.

点评本题考查双曲线和平面几何的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

分析同例3.

点评本题考查椭圆和平面几何的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

点评本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

图5

点评本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．

例8(2015·新课标Ⅱ理11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为( ).

点评本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．

分析利用已知条件，通过点A到渐近线的距离的两种不同表示式，列出关于a、b的方程，即可求出双曲线的离心率．

点评本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．

解答画出图形，由已知可得线段OA是△BF1F2的中位线，∴OA∥F2B.

点评本题考查双曲线和平面几何的简单性质，考查数形结合的思想方法和计算能力，是中档题．

分析设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出关于b、c的方程，即可求解椭圆的离心率．

点评本题考查椭圆的简单性质的应用，点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法和计算能力．

四、列出关于a、b、c的方程，再结合a、b、c之间的平方关系，消去一个量，即可求出圆锥曲线的离心率.

点评本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离，余弦定理和离心率的求法，属于中档题．

可以看出，求圆锥曲线离心率的关键在于寻找相等关系，列出关于a、b、c的方程.常用的途径有：①借助已知的相等关系，如例1、例6和例11；②利用圆锥曲线的定义，如例2和例7；③根据“若点在曲线上，则点的坐标满足曲线的方程”，如例3和例8；④利用正、余弦定理，如例12；⑤根据图形的几何性质，如例4、例5、例9和例10.