巧用数学方法求解物理问题

侯志敏

(江苏省灌云高级中学 222200)

一、活用相似三角形

将三角形的定义灵活运用到物理习题的求解中，使得解题过程清晰、明朗化.

1．虚拟圆中的相似三角形法

例1如图1所示，质量为m,电量为e的电子，以速度v0水平进入磁感应强度为B的匀强磁场中，离开磁场时，在竖直方向侧位移为h,求磁场区域的宽度L值.

图1 图2

图3

例2如图3中的均匀直棒重G，搁于内壁光滑的半圆形容器上(容器半径为R)，此时刚好处于静止，求棒长为多少？

分析本题常用力矩平衡法求解，当直棒与水平成θ角后可利用虚拟圆中的相似三角形进行求解了，步骤略，答案为L=4R[cos2θ/cosθ]

2．速度三角形相似法

体育设施主要考虑相关运动场馆的建立，一般来说，运动分为竞技和休闲健身两种。水利风景区应该在利用其良好的自然资源条件下，着重发展相关配套设施及人力资源，以达到最佳的运动保健功能。一般来说，体育运动包含的种类十分丰富，如田径类、球类、体操类、水上运动类、冰上运动类、自行车类等。但是笔者认为应该因地制宜，充分利用优势条件开展活动，在设立基本体育健身场馆的基础上，注意突出特色。如水利风景区往往位于郊区，温度和地质条件有利于滑雪场的修建；同时，利用高差优势和水面优势，开展跳伞等活动。

图4

例3质点a从A点出发沿AC方向以v0作匀速直线运动，AC=L，在此同时，质点b从B点出发也作匀速直线运动，如图4所示，BC=L，且BC⊥AC，欲使质点b追上质点a,质点b的最小速度值为多少？

图5

解本题是求极值问题，按建立数学函数、分析物理极值状态的常规方法都很难得出解题.但如果通过速度分解配合相应的相似三角形，使问题变得非常直观，欲使b质点追上a质点，将vb分解；其平行AC方向的分速度应与v0相同，vb的另一个分速度方向则应始终指向A点(其速度大小不定).如图5所示，欲使vb最小，则vb必垂直于BA方向的分速度(直角边最小).因有速度三角形和几何三角形ABC相似.

3．力三角形相似法

例4如图6所示，光滑半球固定在水平地面上，其球心正上方有一小滑轮，一个小球用细绳系住停止在A点，绳端绕过滑轮用力拉住，使小球从A点沿球面向上缓慢运动，在此过程中，关于小球受到的支持力N和绳的张力F的大小变化情况，下列说法正确的是( ).

A.N增加，F变小

B.N减小，F增加

D.N不变，F变小

解析本题既不能用动态平衡法则(也就是封闭三角形法则)求解，也不适合用通过设夹角求解(极其繁琐)，但此时如果利用三角形相似，则为最佳解题途径.如图6所示，设球半径为R，滑轮到球顶点距离为h,滑轮与小球间的绳长为L，作出任意时刻的小球受力图，找出力的三角形与几何三角形相似，即如图7中打斜线的两个三角形，就有相似性.

F/mg=L/(R+h),F=[mg/(R+h)]L(1)

同理有：

N/mg=R/(R+h)⟹N=[mg/(R+h)]R(2)

当缓慢上升过程中，L将变小，由(1)(2)式可知，F∝L.F将减小.N与L无关，N将保持不变，因此本题答案应选(D).

二、巧用一元二次方程解决共轭关系

解决物理问题时，经常会遇到解一元二次方程，有时会得到有物理意义的两个共轭解，巧用共轭关系，可解决某些物理问题.

例5以某一速度自地面上A点竖直上抛一小球，从抛出开始，至两次经过上方B点的时间分别为1秒和3秒，求上抛的初速度v0和B点离地出点的高度h(不计空气阻力).

这两个解的物理意义就是从出发点到两次到达B点分别用的时间.根据其共轭关系可知

t1+t2=2v0/g,t1t2=2h/g.

由以上两式可方便地得出：

总之，根据高中物理习题特点，引导学生分析与解决高中物理问题，不断提高学生思维领域，按照问题的条件和要求，采取相应的方法去求解问题，成就知识融会贯通的局面，串联中实现举一反三，达到事半功倍的效果.