李萨如图形的动态模拟及其在声速测量中的应用

2019-11-21陈学文张家伟都进学

重庆科技学院学报（自然科学版） 2019年5期

姚雪陈学文张家伟都进学

(重庆科技学院数理与大数据学院, 重庆 401331)

当质点同时参与两个相互垂直方向的简谐振动，质点的位移是这两个振动的位移的矢量和。如果两个振动的频率具有简单的整数比值的关系，质点的轨道是稳定的运动轨道，这些轨道曲线即李萨如图形(Lissajous-Figure)。利用李萨如图形可以测量两正弦电压相位差、交流电的频率、交流阻抗特性、音叉频率以及两个相互垂直的简谐振动的相位差及频率等。两个简谐振动的合成问题，尤其是两个相互垂直的不同频率的简谐振动之间的合成问题，是机械振动研究的重要内容，也是大学物理教学的重点和难点部分。在声速测量实验教学中，为帮助学生理解相互垂直的不同频率的简谐振动合成问题，掌握李萨如图形法的原理及其操作技术，我们借助Mathematica软件，模拟不同频率、不同振幅、不同相位差情况下的合振动的运动情况和轨迹形状，让学生观察各种情况下的动态李萨如图形，取得了较好的教学效果。

1 对李萨如图形的动态模拟

Mathematica计算软件具有强大的数值计算、符号运算和图像处理功能，其图形界面友好，输入简单的语句就可以绘制出精美的二维和三维图形。我们运用Mathematica 8.0.4来绘制李萨如动态图形。

设两个相互垂直的简谐振动分别在x轴和y轴上进行，位移分别为：

(1)

式中：A1、A2为振幅；ω1、ω2为角频率；φ1、φ2为初相位；t为时间。

在Mathematica中，利用Manipulate命令，可得如图1所示的李萨如图形。

图1中，ω1和ω2在1～6 rads的范围内，以0.01 rads的步长改变；A1和A2在0～1 cm的范围内以0.01 cm的步长改变；φ1和φ2在0～2步的范围内以0.01 rad的步长改变。在Mathematica程序中，可以任意设置A、ω和φ。通过调节杆上的按钮手动调节A、ω、φ和t，可以观察不同的李萨如图形。点击▶按钮，可使各变量自动增加，相应的李萨如图形会同时显示出来。确定ω、φ和A后，点击run按钮，合振子便从初始位置(图中实心原点处)开始运动。

2 声速测量的李萨如图形法原理

声速测量是大学物理实验教学中的十分重要的实验项目。实验电路如图2所示，其中，S1和S2分别为超声波发射与接收压电探头。S1由信号源供给交流电信号，由逆压电效应发出超声波。S2作为声波接收器，由正压电效应，将接收到的声压转换成电信号。

图1 应用Mathematica软件绘制的李萨如图形

图2 声速测量实验装置原理示意图

需要说明的是：首先，在接收器S2端，相对空气而言，S2的表面属于波密媒质，应始终处于“驻波”节点。然而，由纵波的性质可以证明，振动位移处于波节时声压最大，压电探头输出的电信号最大。因此，示波器显示的S2处反射波波形是声压波，而不是位移波[1]。其次，接收换能器产生共振时，存在一定的阻尼吸收，同时会有部分透射，因而反射波的振幅往往小于正向波的振幅[2-4]，但不影响测量结果的准确性。

在实验室测量空气中的声速，常用的方法有3种：时差法、共振干涉法(驻波法)和相位比较法(李萨如图形法)。

(1) 时差法。将调制的脉冲电信号加在发射换能器上，发出的脉冲波经过时间t后到达相距L处的接收器，通过测量距离和时间而计算得到声速(u=Lt)。这种方法主要适用于测量液体中的声速；在用来测量空气中的声速时，较难控制相对误差。

共振干涉法和李萨如图形法都是在连续波的谐振状态下，通过测量波长λ和频率f而计算得到声速(u=λf)。发生谐振时，交流电信号的频率即为超声波的谐振频率f。这两种方法的主要区别在于测量超声波波长的方法有所不同。

(2) 共振干涉法。谐振时，将接收器附近的合振动信号输入示波器，出现正(或余)弦图像。通过移动S2，记录连续出现最大振幅时S2的位置来测量波长。最大振幅的确定是由观察者主观判断，因此往往难以准确地确定最大振幅。

图3 李萨如图形的示波器显示

3 关于李萨如图形的动态变化

由于在大学物理的理论教学中很少讲李萨如图形，当声速测量实验中直接应用李萨如图形时，学生往往难以理解李萨如图形法的原理，不清楚实验中李萨如图形对应变化的原因。实验中为什么会出现如图3的李萨如图形变化呢？我们不妨结合数学式推导一下。实验中，发射波和反射波的频率之比为1 ∶1，经过相应的计算可得合振动的轨迹方程：

(2)