浅谈向量组的线性相关、线性无关的证明

何小琴

摘 要：本文分别对向量组线性相关、线性无关的证明方法进行了归纳，其中包括了定义法、矩阵秩法、方程组法、反证法、利用性质定理以及利用极大无关组的证明方法。

关键词：向量组;证明;线性相关;线性无关

一、向量组的线性相关与线性无关的概念及其相关定义、定理

（四）反证法

反证法是我们在数学学习过程中很常用到的方法，一些题目通过直接证明结论是比较不容易的，所以就可以从结论的反面入手，通过假设得到与结论相矛盾的结果，证得结论成立. 证明向量组线性相关性中反证法一般主要运用于证明线性无关，首先假设这个向量组线性相关，接着根据定义推导出是否与题干中的条件矛盾，当与条件矛盾时，则说明假设不成立，证明出该向量组是线性无关的.

（五）利用极大无关组证明

极大无关组是我们在学习向量空间的重要一部分，这里我们可以利用极大无关组证明向量组线性无关，要运用到的是当向量组的极大线性无关组中向量个数与该向量组中所含向量的个数相等时，证得向量组线性无关.

四、结语

本文首先是通过对向量组线性相关性的概念及相关定理进行了解，再着重分别归纳了证明向量组线性相关、线性无关的方法，证明线性相关中归纳了定义法、矩阵秩法、方程组法和利用性质定理证明，证明线性无关中归纳了定义法、矩阵秩法、方程组法、反证法、利用极大无关组证明，其中也对我们学习过的矩阵的秩以及齐次线性方程组的解有了更深刻的理解和运用，通过本次归纳总结让我们以后的代数问题解决中起到一定的帮助，也对今后同学们的学习也能起到点拨的作用。

同时我通过本次课题研究，对课题的国内外相关资源的搜索和了解，加强了我的学科知识，拓展了向量组线性相关、线性无关证明的思维见解，为自己今后的学习和工作打下了良好的基础，使我受益匪浅.

参考文献：

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代數（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.6.

[2]研究生入学考试辅导用书编委会.考研数学命题人复习全书[M].北京：北京航空航天大学出版社，2014.3.

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