对接已有经验 趋向数理认知——三种“认识射线”教学方式的分析与思考

沈 俊

【案例呈现】

射线的主要几何属性有三个——直的、有一个端点、无限长。由于缺乏相应的生活积累和数理经验，小学生认识射线需要解决这样一些问题：射线和线段有什么关联？生活中存在射线吗？“无限长”是什么样子的？怎样画出一条射线？……概而言之：怎样以有限来表达无限？为了突破前述认知难点，教师执教时通常会将手电筒、激光笔、激光测距仪等器具引入课堂，让学生在观察、想象、对话、描摹等活动中明晰射线的几何特征。但是，由于师生之间的知识、经验、信息不对称，常常会出现课堂互怼的情况，令人深思。

［案例1］神器未必“神”

师：老师今天带了一个“神器”来上课，想知道是什么吗？

生：想！

师：看，这是一支激光笔。老师打开激光笔，投在黑板上，你看到了什么？

生：一个很亮很亮的点。

师：对！激光笔的发射端和这个亮点之间可以看作一条线段。

为了使学生看清楚，用喷水壶洒水，呈现出那根“神奇”的线，引出线段，并借机复习线段的基本特征。

师：请同学们闭上眼睛，发挥想象力——这根神奇的线具有超强的穿透力，它穿过墙壁，越出学校，透过云层，射向遥远的天空。这条线段形成了一根新的线，只有起点，没有终点。大家能想象出来吗？

生1：老师，这根线是有终点的。因为不管怎么发射，它始终会落在一个地方。

生2：是啊，再怎么遥远的天边总是会有东西啊。这个点也许会落在一棵树上、一座山上、另一个星球上……

生3：对，那它还是一条线段啊。

教师不知如何应答，只能尴尬地转移话题。

点和线在几何体系里是不证自明的公理性定义，理解这些概念，需要学习者联系现实世界进行感悟。任何一种几何图形在生活中都不是绝对的存在，它们皆是原型的提炼与概括。如线段的生活原型有毛线、筷子、铅笔、直尺和桌子的边沿等，但射线的生活原型稀缺，学生严重缺乏这方面的体验，即使用激光笔等工具来辅助教学，也难以让学习者克服想象中的束缚——激光笔的能量再强，另一端的点总是会射在某个物体上。不得不说，理解射线无限长的特征的确是教学难点，在材料呈现顺序或语言引导方向上稍有不注意，教学便会陷入泥淖难以自拔。

［案例2］想象来助力

苏教版四上第77 页提供的学习“射线、直线和线段”的主题图如图1 所示，它为学习射线提供了很好的情境。“射灯”情境既对接学生既有的生活经验，又为他们理解射线的无限长提供了资源。“射出的光线”与射线有一些相关的属性：射灯的光源可以看作射线的一个端点；射灯射出去的光线也是直的；射灯射出的光线射向遥远的天空，容易使学习者建立“无限”的语词概念，便于他们发挥数学的空间想象。笔者基于教材而教，借助数形结合引导学生充分发挥想象力，较好地突破了“认识射线”的教学难点，教学流程如下：

（图1）

（1）呈现主题图，让学生说说这些线的共同点，指明这些线可以看作射线。

（2）利用激光笔沟通射线与线段的联系和区别：激光笔射出的光线和射灯射出的光线都可以看作射线；用黑板挡住激光笔的光线，黑板上的光点与发射端之间的线可看作一条线段；比较线段和射线的异同。

（3）数形结合，深化认知：先画一条10 厘米长的线段，标注好0 和10；紧接着再画一条10厘米长的线段，两条线段共20 厘米长；再画一条，该画多长呢？一直像这样画下去画得完吗？（如图2）

（图2）

数直线由“0”开始，数是无限的，线也可以不断延伸下去，这就是射线。

（4）尝试画射线，比较几种画法的异同，体会无限长，学习以有限表示无限。

教材霓虹灯（射灯）主题情境图处于一个开阔的空间，且齐齐射向浩渺的天空，自然而然使人产生无限的空间想象。四年级学生具备初步的抽象能力，可以通过观察、想象、讨论等方式来体会射线的无限长。教师借助数形结合，巧妙地将正整数的无限性和射线一端无限延长交融在一起，深化了学生对射线的认知。教材文本是众多智者的智慧结晶，也是最重要的活动资源和教学依据，用心揣摩，为我所用，往往能取得较好的教学效果。

［案例3］“角”里有乾坤

学生在正式进行科学的学习之前便对事物形成了自己的认知，有些认知会促进学生进行新的学习，为正迁移；有些会阻碍学生建构新知，为负迁移。那么，要“认识射线”，在学生原有的认知中存在促进他们正迁移的数理经验吗？学生在二年级时初步认识了角，可以尝试从“角”出发，打通线段、射线和直线的关系，突破射线无限长的认知难点。

（1）比较长短。画一条长10 厘米的线段，再画一条长20 厘米的线段。提问：哪条线段长？线段有长有短，是可测量的，由此引出线段的特征。

（2）比较大小。教师分别以刚才画好的长10 厘 米 和20 厘 米的线段为边长，画出两个正方形（如图3）。提问：哪个正方形大一些？为什么？为下面比较角的大小做好冲突孕伏。

（图3）

（图4）

（3）观察比较。用三角尺画两个30°的角（如图4）。提问：这两个角谁大谁小？为什么？

生1：一眼就看出来了，右边的角大一些。

生2：不同意！这两个角都是沿同一把三角尺的同一个角画出来的，肯定一样大。

师：可是我就是觉得右边的角大啊！

生3：二年级就学过了，角的大小与边叉开的大小有关，与边的长短无关。我们用三角尺去量一量就知道了。

教师将左边的角的两条边延长至夸张的地步，提问：现在哪个角大？为什么？引导学生得出角的两条边可以无限延长。

（4）引出射线。和线段相比，这条线有什么不同？数学上，我们把这种线叫作射线。射线有什么特征？

（5）画一条射线。在不同的画法中深化学生对射线的认知。

（6）创造直线。数学是讲究推理的，咱们回顾线段和射线的联系，你还想创造一条什么样的线？这条线有什么特征？直线呼之欲出。

为了说明一个定义或概念，我们可以借助多种直观手段形象描摹，一步步完成概括和抽象。如果学生已有知识经验储备中有相关的数理认知，我们也用不着舍近求远地去联系生活。二年级初步认识了角，学生在操作“活动角”的过程中积累了相关活动经验和数理认知，角的大小与边的长短没有关系，即角的两条边缩短或延长都不影响角的大小。射线的教学对接这样的经验，更具数学味了。同时，“以有限表达无限”的学习难点也随之得以突破。既然线段和面积都可以测量，那角的大小该如何测量呢？后续的学习水到渠成，更有延续性和整体性。

【问题思考】

英国哲学家罗素说：“教师的工作基本上属于表演业，他要用戏剧的和故事的方式，将知识和智能呈现出来。这种工作，要有很多时间做预备、做锻炼。教学的现场乃是开花结果的现场，许多辛苦，都是在教室外面经历的。”是的，教学现场是不可复制与再造的。教师只有在深度备课、增强底蕴、积累机智上多下苦功，才能在教学现场驾轻就熟、游刃有余。

1.讲求意义联结。教材编撰有标准的约束和编者的考量，又因螺旋上升、小步子前行等知识学习策略要求，知识往往被切分得比较琐碎，这就需要教师想方设法将教材和儿童在教学现场和日常生活中联结起来，因为新学习若建立在熟悉材料的基础上，学生则更容易找到意义联结，学习便更容易真实发生。正如美国心理学家奥苏伯尔强调的“先行组织者”理论：“只有当新的材料与长时记忆中相关概念形成系统的联系，学习才是有意义的，也就是说，新材料扩展、修改或详细阐述了记忆中已有的知识。”［1］上述三个认识射线的案例，都意在联结学习者旧有的知识和经验，寻找新知识的生发点。

2.着意经验卷入。儿童对世界的经验可分为两种：一是物理经验；二是逻辑数学经验。［2］两种经验相辅相成，构成了儿童完整的经验世界。如儿童看到一支激光笔，发现它的色彩、形状、开关、能发射光线等方面固有的属性，即是儿童对激光笔建立了物理经验。逻辑数学经验则不同——教师引导学生将激光笔射出的光线与射线的特征联系起来，展开辨析比较、空间想象和逻辑推理，则是协助学生建立某种逻辑数学相关的经验。皮亚杰认为，学习就是原有的经验获得平衡、打破平衡、重新协调的过程。好的教学便是要邀请学习者亲自对物体施加动作或运算，从而获得体验、改造经验、转识成智，使新知识成为其本身智慧结构的一部分。

3.重视数理抽象。教材往往省略了一些概念与定义的诞生细节，使“火热的思考”变成形式化的演绎推理。教师需要深入揣摩教材，审视文本背后的数学本质，精心设计教学流程，带领儿童去经历、体验、发现和再创造，从而使他们获得豁然开朗的顿悟。同时，我们也得明确“数学教育的一个主要目标是帮助学生学会思维，而不是提高动手的能力乃至获得相关的活动经验”［3］。高度的数理抽象可以避免知识的碎片化，促进其整体建构。当我们还在纠结使用激光笔等工具的时机时，案例3 无疑给了我们很好的启迪。射线的特征原本已孕伏在二年级的“初步认识角”里了，可以顺承其数理经验，自然而然地引出来，而不需要我们苦心孤诣地对接其生活经验了。总之，教师设计教学，在充分了解学生和深度研读教材的基础上，需要进一步瞻前顾后、梳理体系、顺承结构、揣摩细节，让学生在学习中增加思考产出，生发新的视角。