多元真理论的混合问题——从凯撒问题的角度看

刘靖贤

在真理论中，一直存在着符合论与融贯论、膨胀论与紧缩论以及一元论与多元论之间的争论。近年来，多元真理论（pluralist theories of truth 或truth pluralism）逐渐成为一个热门话题（参见[10,15]）。多元真理论的代表人物是莱特（参见[13,14]）和林奇（参见[7,9]），他们分别从不同的角度发展出不同版本的多元真理论：莱特的出发点是，弥合实在论与反实在论之间的争论；林奇的出发点是，把心灵哲学中的功能主义运用于真理论研究。本文并不打算对多元真理论进行详细的评述，而是聚焦于它所面临的一个严峻挑战，如何确定涉及不同领域的语句是真的，这被称为混合问题（problem about mixed discourse）。

本文的主要结构如下。第一节，我把多元真理论的动机概括为投射论证，并且把这个论证重构为四个论题，包括范围论题、对应论题、划分论题以及典型性论题，由此指出多元真理论在动机方面的不合理之处。第二节，我把这种不合理之处落实在混合问题上，我将借鉴弗雷格逻辑主义的凯撒问题，由此说明，混合问题背后隐含着固有论题与设定论题之间的两难困境。第三节，我尝试给出凯撒问题的解决方案，这个方案使用了构造方法，包括六个步骤：数步骤、外延步骤、上升步骤、置换步骤、悖论步骤以及固定点步骤。第四节，在凯撒问题解决方案的基础上，我给出混合问题解决方案所需要满足的必要条件，这个条件来自我对劳威尔固定点定理哲学意义的阐释，从这个必要条件出发，我将指出了林奇、比尔、谢尔等人解决方案的片面性。

1 投射论证及其问题

在我看来，多元真理论的动机可以被概括为投射论证（projection argument）。所谓投射论证是说，根据语言和世界之间的对应关系，把语言的特征投射为世界的特征。我首先说明一种基于符合真理论的结构投射论证，然后说明多元真理论的范围投射论证。所谓结构投射论证是说，把语言的结构特征投射为世界的结构特征。我把这个论证重构为四个论题：

结构论题（structure thesis）在语句的语法结构背后隐藏着严格的逻辑结构，例如，原子语句是专名和谓词的结合，复合语句具有真值函数结构。

对应论题（correlation thesis）承真者（truth-bearer）与使真者（truth-maker）之间存在对应关系，语句的结构对应于事实或命题的结构，也就是说，语言和世界之间存在对应关系，这里的世界既可以是客观意义上的，也可以是主体间意义上的。

构成论题（constitution thesis）如果原子语句的构成成分有对应物，那么原子语句本身也有对应物；如果复合语句的构成成分有对应物，那么复合语句本身也有对应物。这其实就是组合性原则（compositionality principle）。

基础性论题（fundamentality thesis）专名和谓词是原子语句的构成成分，专名和谓词有对应物；原子语句是复合语句的构成成分，原子语句也有对应物。

根据上述结构投射论证，语言层面上的语句既可以在客观世界中投射出事实，也可以在主体间世界中投射出命题。以原子语句为例，专名对应于个体或对象，谓词对应于性质或概念，原子语句对应于原子事实或原子命题。为了便于区分，我暂时把个体、性质和原子事实看作是客观世界层面的，把对象、概念和原子命题看作是主体间世界层面的，这背后的原因是，对象是主体所面对的对象，概念是主体所把握的概念，原子命题是主体所理解的原子命题。此外，如果语句还涉及模态维度，那么根据结构投射论证和可能世界语义学，还可以投射出可能个体、可能性质和可能事实。

然而，结构投射论证导致事实的形而上学困境，正如陈波所说，“用设定‘事实’并用与相应事实的‘符合’或‘对应’去说明一个语句的真或假：如果一个语句报告了一个事实，它为真，否则为假。但问题在于：这种‘事实’概念是为了符合目的由真语句投射出去的，是为了说明语句的真而特别创制的。人们先有一个语句，为了说明这个语句的真，人们设定这个语句所对应的事实。在这样做的时候，人们实际上是把语句及其结构‘移植’、‘投射’到现实世界中去。”（[17]，第29 页）我认为，结构投射论证是似是而非的：乍看起来是合理的，但深究起来很不合理，它实际上是一种“削足适履”、“揠苗助长”的做法。结构投射论证所导致的一个直接问题是：太多事实！例如，存在着否定语句、析取语句、条件语句、全称量化语句、存在量化语句等，但是并不存在着否定事实、析取事实、条件事实、全称量化事实、存在量化事实等。

多元真理论的动机可以被看作是范围投射论证，这与结构投射论证是类似的。多元真理论的出发点是范围问题（scope problem）：符合真理论的标准在有些范围内是适用的，例如日常对象或物理对象，但在有些范围内是不适用的，例如关于喜剧或时尚的话题；融贯真理论的标准在有些范围内是适用的，例如关于数学、美学和道德的话题，但在有些范围内是不适用的，例如关于经验或现实的话题。由于范围问题，多元真理论拒绝一元真理论的“一刀切”做法，由此尝试对不同范围的真给出更有解释力的说明。莱特（参见[13]，第37-38 页）和林奇（参见[9]，第77-80 页）提出的核心概念是论域（region of discourse）或领域（domain），不同的语句隶属于不同的范围，不同的范围对应于不同的论域或领域。为了便于区分，我暂时把领域看作是客观世界层面的，把论域看作是主体间世界层面的。我认为，多元真理论在根本上仍然依赖于投射论证。在前面结构投射论证的基础上，我也把范围投射论证重构为四个论题1结构投射论证以及后面的范围投射论证都是我自己做出的概括和总结。从历史角度看，结构投射论证至少可以追溯到罗素和维特根斯坦，但本文不对这些历史脉络进行梳理。：

范围论题（scope thesis）不同的语句表达了不同的话题，不同的话题隶属于不同的范围，例如，物理话题隶属于物理范围，美学话题隶属于美学范围，数学话题隶属于数学范围，道德话题隶属于道德范围。

对应论题（correlation thesis）不同的话题或范围对应于不同的论域或领域，从不同的对应关系得出不同的真，这也是说，语言和世界之间存在对应关系，这里的世界仍然既可以是客观意义上的，也可以是主体间意义上的。

划分论题（classification thesis）如果一些语句典型地隶属于一个特定的范围，而其他一些语句典型地隶属于另一个特定范围，那么范围之间存在着精确或模糊的界限。

典型性论题（typicality thesis）一些语句典型地隶属于一个特定范围，但这些语句并不典型地隶属于另一个特定范围，或者说，其他一些语句典型地隶属于另一个特定范围。

显然，结构投射论证与范围投射论证是有差异的，前者的结构论题、构成论题和基础性论题被替换为后者的范围论题、划分论题和典型性论题。但是，二者在实质上仍然是相似的，因为它们都诉诸对应论题，即语言和世界之间的对应关系，无论是哪种意义上的“世界”。这里需要澄清的是，对应论题在实在论与反实在论之间保持中立，语言既可以对应于柏拉图式的客观世界，也可以对应于主体间可分享的公共世界。

然而，与前面类似，我认为，范围投射论证也是似是而非的：乍看起来是合理的，但深究起来很不合理，它实际上也是一种“削足适履”、“揠苗助长”的做法。范围投射论证所导致的一个直接问题是：太多领域！以刑事案件中的语句为例，例如“警察通过DNA 检测把犯罪嫌疑人锁定为张三”，又如“李四的作案动机是他的嫉妒心理”。表面上看起来，这些语句典型地对应于法律领域，但实际上，刑事案件的审判依赖于证据，例如，利用DNA 检测、指纹识别等技术手段获取证据，这与包括生物学在内的自然科学紧密相关，由此派生出刑事证据学领域；此外，在刑事案件的侦查过程中，把握罪犯嫌疑人的心理状态对于案件的侦破也是至关重要的，这涉及到刑事案件与心理学的结合，由此也派生出犯罪心理学领域。从这个角度看，任何学科或范围之间经过组合似乎都可以派生出新的领域。于是，对于刑事案件中的一个语句来说，如何通过多元真理论来判定这个语句的真假？

我认为，投射论证的不合理之处主要体现在对应论题中，对应论题背后隐含着一个两难困境。一方面，如果在客观的（或柏拉图主义的）意义上理解对应论题，那么投射论证实质上是一种实在论或柏拉图主义，但问题在于，人们如何认知地通达到这种被投射的实在领域；另一方面，如果在主体间的意义上理解对应论题，那么投射论证具有反实在论倾向，但问题在于，这种被投射出来的对应物如何具有主体间意义上的可分享性。实际上，在语言与世界之间二元关系的背后是主体、语言与世界之间的三元关系，这是陈波“语言和意义社会建构论”的根本洞见（参见[16]，第122-123 页）。根据我的理解，主体处于语言和世界之间，语言与世界之间的关系是通过主体的不断构造而建立的，这里的主体不仅是认知意义上的主体（subject），也是行动意义上的主体（agent）。在这个洞见的基础上，我将发展出构造方法，由此消除投射论证的不合理之处。

2 混合问题与凯撒问题

前面说明，从范围投射论证角度看，多元真理论有不合理之处，实际上，这种不合理之处具体表现为混合问题，这也是多元真理论所面临的一个严峻挑战。混合问题是说，如果一个语句涉及不同的论域或领域，那么如何判定这个语句的真假。这个问题包括三个层面：原子层面、复合层面和推理层面。

原子层面的混合问题是指，如何判定一个涉及多个领域的原子语句的真假，例如“圆周率π 是美的”，又如“造成疼痛是恶的”。前者涉及数学领域（“圆周率”）和美学领域（“美的”），后者涉及物理领域（“造成”）、心理领域（“疼痛”）和道德领域（“恶的”）。

复合层面的混合问题是指，如何判定一个涉及多个领域的复合语句的真假。例如“杀戮无辜百姓是不义的并且7+5=12”，又如“如果蒙娜丽莎的微笑是美的，那么酒后驾车是违法的”。前者是合取语句，两个合取支分别涉及道德领域和数学领域，后者是条件语句，前件和后件分别涉及美学领域和法律领域。

推理层面的混合问题是指，如何说明一个涉及多个领域的推理是有效的，即如何说明这样的推理具有保真性，例如，从“吃得过饱的狗是懒惰的”和“张三的狗吃得过饱”推出“张三的狗是懒惰的”，又如，从“被淋湿的猫是滑稽的”和“李四的猫被淋湿了”推出“李四的猫是滑稽的”。这些例子都涉及两个领域：描述性领域（“吃得过饱的”与“被淋湿的”）与评价性领域（“懒惰的”与“滑稽的”）。

就我所知，塔波利特最早通过借鉴吉奇问题而提出混合问题（参见[12]，第209-210 页）。吉奇问题又是针对元伦理学中的表达主义而提出的（参见[5]，第221-225 页）。表达主义是一种道德反实在论，它主张，道德语句并不具有适真性（truth-aptness），所以这些语句既不表达一个信念，也不做出一个断定，而是表达某种非认知的情感或感受，无所谓真假。吉奇问题是说，如果像表达主义那样，把道德语句区分出被断定的语境和未被断定的语境，那么这将不能说明一个涉及这两种语境的推理是有效的，也就是说，为了进行有效推理，同一个语句即使在不同的语境中也必须具有相同的语义功能。当然，道德表达主义不同于多元真理论：前者认为，道德语句并不做出断定，所以无所谓真假，这是有与无之间的问题，即有真和无真的区别；后者认为，不同语句隶属于不同范围，不同范围对应于不同领域，所以存在着不同种类的真，这是一与多之间的问题，即一个真和多个真的区别。然而，道德表达主义与多元真理论都面临着相同的挑战：有效的推理必须诉诸唯一的真，既不能少于唯一的真，即不能没有真，也不能超出唯一的真，即不能有多个真。

从历史线索看，塔波利特的混合问题借鉴了吉奇问题，而吉奇本人又把吉奇问题归功于弗雷格。实际上，在建立现代逻辑（概念文字）时，弗雷格就已经考虑过与混合问题类似的凯撒问题。凯撒问题是伴随着弗雷格的逻辑主义而产生的。弗雷格的逻辑主义在实质上是从概念抽象出逻辑对象，然后把算术对象定义为逻辑对象，由此从逻辑规律推出算术规律。然而，这种抽象方法需要给出抽象对象（包括逻辑对象与算术对象）的同一性标准，由此产生的问题是，如何确定任意一个对象是不是一个数，例如，凯撒是不是3 这个数（参见[3]，第68 页）。显然，凯撒问题类似于原子层面的混合问题，例如，“凯撒=3”类似于“π 是美的”。从多元真理论的角度看，“凯撒”对应于日常领域或具体领域，而“3”对应于数学领域或抽象领域，所以“凯撒=3”涉及两个领域。然而，凯撒问题与混合问题之间也是有区别的。一方面，对于凯撒问题来说，日常领域与数学领域之间并非毫不相关，数学对象是通过对日常对象进行抽象而得到的，所以从日常领域生成出数学领域。我也把日常领域称为非生成领域（non-generating domain），把数学领域称为生成领域（generating domain）。另一方面，对于混合问题来说，两个或多个领域之间并不一定存在生成关系，不同领域代表了不同视角，它们之间可能既不相互排斥，也不相互纠缠。但是，无论如何，鉴于凯撒问题与混合问题的相似性，如果凯撒问题面临着严重困境，那么混合问题在很大程度上也面临着严重困境；相反，如果凯撒问题是可以解决的，那么混合问题的解决至少在某种程度上可以受到启发。

在弗雷格那里，凯撒问题与对象本身的独立性（self-subsistent）有关（参见[3]，第68 页），弗雷格所坚持的原则是，“对象的呈现方式不是对象的固有属性”（[4]，第48 页）。这里，我从弗雷格所坚持的原则出发，尝试重构出凯撒问题所面临的两难困境。我要提出的问题是：通过抽象方式所给出的对象究竟是独立的还是非独立的，究竟是依赖于主体的还是不依赖于主体的。然而，无论哪种选择，都将导致困境。我的论证如下。一方面，如果抽象对象是非独立的，即依赖于主体的，那么根据“对象的呈现方式不是对象的固有属性”，这样的抽象对象不能被断定为存在，关于抽象对象的词项也不能被赋予任何确定的对应物。原因在于，对象以一种方式呈现给人们，这并不意味着，它只能以这种方式呈现给人们，它也有可能以另一种方式呈现给人们。另一方面，如果抽象对象是独立的，即不依赖于主体的，那么通过抽象方式而设定抽象对象，这种做法是多余的。原因在于，设定一个抽象对象，即使这种设定不导致矛盾，这也并不意味着，这种设定是必要的或可靠的，否则，只要保证融贯，就可以设定任何对象。

与凯撒问题所面临的两难困境类似，混合问题也面临着两难困境。这种两难困境从根本上说是由于多元真理论从范围投射出领域。我的问题仍然是，从范围所投射出来的领域究竟是独立的还是非独立的，究竟是依赖于主体的还是不依赖于主体的。然而，无论哪种选择，也都导致困境。我的论证过程与前面是类似的。一方面，如果领域是非独立的，即依赖于主体的，那么因为领域的给出方式不是领域的固有特征，所以这样的领域不能被断定为存在，相应的范围也不能被赋予任何确定的对应物。原因在于，一个领域以一种方式呈现给人们，这并不意味着，它只能以这种方式呈现给人们，它也有可能以另一种方式呈现给人们。另一方面，如果领域是独立的，即不依赖于主体的，那么把范围投射为领域，这种做法是多余的。设定一个领域，即使这种设定不导致矛盾，这也并不意味着，这种设定是必要的或可靠的，否则，只要保证融贯，就可以设定任何领域。我把前一个困境称为固有论题（inherence thesis），把后一个困境称为设定论题（positing thesis）。

固有论题表现出对未知的慎重：人们通过一种方式或一种角度认知地通达到一个领域，但也有可能通过其他方式或其他角度认知地通达到这个领域，一种或几种方式的认知通达并不能穷尽这个领域的所有特征。设定论题表现出对平凡的严谨：相融性是设定一个领域的必要条件，但不是充分条件，人们可以随意地设定任何领域，但这些设定并不保证这些领域之间的界限得到绝对确立；此外，表面上看起来相融的设定或许潜在地蕴涵着一个矛盾，只不过这个矛盾在特定阶段尚未进入到认知层面。更进一步说，固有论题是一个积极论题，体现了列举法：人们尝试各种认知手段或途径，从而把一个领域的所有特征都呈现出来。但是，人们的认知能力是有限的，他们很难在短时间内把一个领域的所有特征逐个列举并且完全呈现出来。设定论题是一个消极论题，体现了归谬法：融贯性或一致性是人们在认知过程中所应该满足的最基本要求，如果不满足融贯性，那么一个领域的设定是不合理的。但是，仅仅满足融贯性并不意味着获得了真知，有可能存在如下情况：人们分别设定两个领域，这两个领域与现有领域都是融贯的，但是这两个领域之间是不融贯的。

在我看来，多元真理论的混合问题就潜在地导致矛盾。我称其为迭代领域悖论，这个悖论模仿自格雷林悖论。既然从不同范围可以投射出不同领域，那么在日常领域之外也可以设定一个言语领域，这个领域仅仅谈论语言本身。这里，我也把日常领域称为非迭代领域（non-iterating domain），把言语领域称为迭代领域（iterating domain）。我假定，日常范围包括“中文”、“英文”、“自谓”、“非自谓”等，而言语范围只包括“自谓”和“非自谓”。现在，判定：“非自谓”是否非自谓。显然，这也是一个混合语句，系动词之前的“非自谓”隶属于日常范围，由此投射出日常领域，系动词之后的“非自谓”隶属于言语范围，由此投射出言语领域。于是，根据格雷林悖论的推导过程，如果“非自谓”是自谓的，那么它是非自谓的，相反，如果“非自谓”是非自谓的，那么它是自谓的，矛盾。

3 凯撒问题的解决方案

既然凯撒问题与混合问题都面临着相同的两难困境，那么对这两个问题的解决就意味着对上述困境的摆脱。在我看来，上述困境并不是不可摆脱的，所以凯撒问题与混合问题并不是不可解决的。对于上述困境来说，问题的关键在于，应该存在某种既被设定但又固有的东西，换言之，如果把固有与设定结合起来，那么应该得到某种固定的东西。对于凯撒问题和混合问题来说，它们都是跨领域问题（cross-domain），这些问题的解决需要建立一个领域与另一个领域之间的桥梁原则或关联原则（bridge or connection principle）。根据前面的讨论，跨领域问题实际上包括三种情况：第一，非生成领域与生成领域之间的关系，这是凯撒问题所揭示的；第二，非迭代领域与迭代领域之间的关系，这是迭代领域悖论所揭示的；第三，任意一个领域与另一个领域之间的关系，这是多元真理论的混合问题所揭示的。我将提出构造方法来解决跨领域问题，这种方法吸取了固有论题与设定论题的经验教训，既防止特设性，又坚持一致性，也就是说，构造过程既是自然而然的又不导致矛盾。我的构造方法在根本上体现了固定点定理（fixpoint theorem）的思想，固定点定理是说，一个函数f 在特定条件下存在固定点，即f(x)=x。我将说明，如果两个领域之间可以建立起关联，那么一个相关的函数有固定点；相反，如果这个函数没有固定点，那么两个领域之间不能建立起关联。首先，我通过构造方法给出凯撒问题的解决方案，然后，把这种解决方案推广为混合问题的解决方案。

我通过六个步骤来解决凯撒问题2我的构造过程是从我博士论文的工作中发展而来的。（参见[18]），这六个步骤是在不断构造的过程中展开的。这里的构造过程与弗雷格逻辑主义的发展过程有重合之处，但并不完全同步，有些地方甚至背离了弗雷格本人的想法。

第一，数步骤（number step）。从历史角度看，弗雷格针对休谟原则而提出凯撒问题。休谟原则是说，一个概念F 的数与另一个概念G 的数相等，当且仅当，F 与G 等数，即在F 和G 之间存在一一对应。（[3]，第73 页）休谟原则的形式表述是：

其中≈是概念之间的一一对应关系，#是数算子，它把一个概念映射为这个概念的基数。根据弗雷格的分析：首先，休谟原则体现了“数的陈述包含着概念的给出”，也就是说，数是通过对概念的抽象而得来的；其次，休谟原则是数的同一性标准，它说明了如何把一个概念的数与另一个概念的数识别为相同的。

然而，休谟原则是一种隐定义，它只说明了一个概念的数与另一个概念的数是否相等，但没有说明数本身是什么，也就是说，没有给出数的显定义。由此导致凯撒问题：对于任意一个对象x，如果x 形如#F，那么休谟原则可以确定x=#G的真假；但是，如果x 并非形如#F，例如，x 是凯撒，那么休谟原则不能确定x=#G 的真假。也就是说，不能确定任意一个对象（例如凯撒）与一个数是否相等。为此，弗雷格给出了数的显定义：F 这个概念的数是“与F 等数”这个概念的外延。（[3]，第79-80 页）

第二，外延步骤（extension step）。前面给出数的显定义，这个定义涉及外延，所以还需要给出外延的定义。弗雷格的第五公理可以被看作是外延的隐定义3值得注意的是，弗雷格本人并不把第五公理看作是外延的隐定义。：一个概念F 的外延与另一个概念G 的外延相等，当且仅当，F 与G 是等价的，即任给对象x，如果它落在F 中，那么它也落在G 中，反之，如果它落在G 中，那么它也落在F 中。（[4]，第72 页）第五公理的形式表述是：

其中ε 是外延算子，它把一个概念映射为这个概念的外延。

第五公理与休谟原则在形式上是非常相似的，正如后者可以被看作是数的同一性标准，前者可以被看作是外延的同一性标准。于是，与休谟原则类似，第五公理也导致一个与凯撒问题类似的问题：对于任意一个对象x，如果x 形如εF，那么第五公理可以确定x=εG 的真假；但是，如果x 并非形如εF，例如，x 是凯撒，那么第五公理不能确定x=εG 的真假。我把这些问题分别称为数版本的凯撒问题与外延版本的凯撒问题。如果在不严格的意义上把外延看作集合，那么第五公理也可以被形式地表述为：

其中外延算子ε 被替换为集合抽象算子{x :·x}。我把它称为集合版本的第五公理。从这个角度看，外延版本的凯撒问题相当于是，如何确定任意一个对象（例如凯撒）与一个集合是否相等，即x={x:Gx}。

第三，上升步骤（ascending step）。休谟原则由于隐定义的表现形式而导致数版本的凯撒问题，因此，如果把隐定义改写为显定义，那么数版本的凯撒问题可以在某种程度上得到解决。类似地，第五公理也由于隐定义的表现形式而导致外延版本的凯撒问题，所以如果把隐定义改写为显定义，那么外延版本的凯撒问题也可以在某种程度上得到解决。根据集合版本的第五公理，数的显定义可以被形式地表述为：

类似地，外延的显定义可以被形式地表述为：

这里，因为X 与F 是等价的，所以从外延的显定义可以得到：

这相当于是，一个外延与“它自身所构成的概念的外延”相等。从纯粹集合论的角度看，(*)又相当于是，一个集合a 与它自身的单元集{a}相等，即a={a}。因此，根据外延的显定义，我把“任意一个对象（例如凯撒）是否与一个概念的外延相等”这个问题转变为“任意一个集合是否与它自身的单元集相等”的问题。

然而，从非良基集合论的角度看，如果把a={a}看作一个方程，那么这个方程根本不存在一个解；相反，从这个方程可以得到一个无穷倒退的序列：为了给这个方程寻找一个解，也就是说，为了给外延版本的凯撒问题寻找一个解决方案，我更为一般性地把a={a}看作A ≈℘(A)，其中a ∈A 并且{a}∈℘(A)，也就是说，把“任意一个集合是否与它自身的单元集相等”这个问题转变为“在一个集合与它自身的幂集之间是否存在一一对应”这个问题。前者是从个体对象或局部视角看待凯撒问题，后者是从整个领域或全局视角看待凯撒问题。我把这种转变称为层次上升。

第四，置换步骤（permutation step）。前面说明，构造方法既防止特设性，又坚持一致性，也就是说，构造过程既围绕悖论展开，又避免矫揉造作的不自然之处。因此，我需要在第四步说明，第三步的层次上升并不是特设性的，这体现了固定点定理的思想；我将在第五步和第六步说明，如何解决层次上升所导致的悖论，这也体现了固定点定理的思想。

我从外延的显定义得出a={a}，这个方程在形式上类似于固定点。如果把集合抽象算子{·}看作一个函数f，那么a={a}实际上类似于x=f(x)。根据前面的说法，凯撒问题是与生成领域相关的混合问题，这个问题意味着，同一个对象既可以通过日常的方式呈现给人们，即以a 的方式，也可以通过集合抽象的方式呈现给人们，即以{a}的方式。同一个对象的不同呈现方式相当于不同的视角，如果不同的呈现方式被固定在同一个对象中，即a={a}，那么这个对象具有了本来的面貌，正如所谓的客观性不过是在各种视角下的不变性。从固定点定理的角度看，如果把一个函数f 看作一种认知方式或一种视角，那么x=f(x)说明了，如何把一个对象通过不同的认知方式或者在不同的视角下再次识别为同一个对象。然而，a={a}并不存在一个解，即并不存在x=f(x)的固定点。

从a={a}上升到A ≈℘(A)，这仍然是在寻求一个固定点，也就是说，如果把幂集运算℘看作一个函数f，把等数关系看作相等关系，那么A ≈℘(A)仍然类似于x=f(x)。但是，这种上升是从对象的或局部的层次上升到领域的或全局的层次；也就是说，如果a ∈A 并且{a} ∈℘(A)，那么凯撒问题不再局部地表现为，一个集合与它自身的单元集是否相等，而是全局地表现为，一个领域A与“从这个领域的集合抽象所得到的新领域℘(A)”之间是否存在一一对应。从置换不变的角度看，无论a 与它自身的单元集相等还是与其他集合相等，如果A 和℘(A)之间存在一一对应，那么不妨把a 就看作是它在℘(A)中所对应的那个集合。所谓置换不变是说，假设把一个领域D 看作一个集合，通过对这个集合中的元素进行置换而得到D′，于是，如果D 满足一个逻辑规律，那么D′也满足这个逻辑规律。在凯撒问题的背景下，置换不变是说，如果A ≈℘(A)这个固定点建立起A 与℘(A)这两个领域之间的桥梁或关联（也就是说，任给x ∈A，都存在唯一的y ∈℘(A)，反之，任给y ∈℘(A)，都存在唯一的x ∈A），那么在A 与℘(A)被合并为一个领域时，不妨把a ∈A 就看作是它在℘(A)中所一一对应的那个集合。4弗雷格也讨论过置换论证（参见[4]，第46-48 页），但他的置换论证与我的置换步骤是有差异的，我这里暂时不讨论这种差异。

第五，悖论步骤（paradox step）。根据康托的对角线定理，A 的基数严格小于℘(A)的基数。因此，不仅a={a}这个方程不存在一个解，而且A 与℘(A)之间也不存在一一对应。然而，与a≠{a}相比，A℘(A)反映了一个更为深层的问题，即弗雷格的概念文字所导致的罗素悖论。从二阶逻辑的角度看，罗素悖论的出现是由于第五公理与标准概括公理之间的冲突。一方面，第五公理在模型上要求，概念和概念的外延之间存在一一对应；也就是说，概念的外延是相等的，当且仅当，相应的概念是等价的；换言之，概念的外延是不相等的，当且仅当，相应的概念是不等价的。另一方面，二阶逻辑的标准概括公理是说，任意一个公式都可以断定一个与之等价的概念，这可以被形式地表述为：

标准概括公理在模型上要求，如果一阶变元（概念的外延亦即对象）的取值范围是A，那么二阶变元（概念）的取值范围是℘(A)。然而，根据康托的对角线定理，这两个方面的要求不可能同时得到满足。

到目前为止，我的构造过程表明，凯撒问题与罗素悖论是紧密相关的。一方面，在解决凯撒问题的过程中遇到罗素悖论。我的构造过程是从数的定义出发的，休谟原则给出了数的同一性标准，但它导致数版本的凯撒问题；我把休谟原则这个隐定义改写为显定义，但数的显定义涉及外延；第五公理给出了外延的同一性标准，但它导致外延版本的凯撒问题；我又把第五公理这个隐定义改写为显定义，但从这个显定义推导出a={a}；最后，我把a={a}这个方程的求解问题推广为A 与℘(A)之间的一一对应问题，而这正是弗雷格的概念文字所导致的罗素悖论。另一方面，如果罗素悖论是可以解决的，那么凯撒问题也可以得到相应的解决。

第六，固定点步骤（fixpoint step）。虽然一个集合与其幂集之间不存在一一对应，但这并不妨碍一个集合与其幂集的子集之间存在一一对应；也就是说，A ≈℘′(A)，其中℘′把A 映射为℘(A)的子集，即℘′(A)⊆℘(A)。这背后所反映的直观是：如果一种认知方式在实际认知过程中遇到矛盾，那么人们不妨对这种认知方式进行修正或限制，也就是说，如果℘是一个认知函数，这个认知函数导致矛盾，那么不妨把℘限制为℘′。

实际上，有多种方式来实现A 与℘′(A)之间的一一对应，所以有多种方式来避免罗素悖论。我给出两个例子。第一个例子是直谓概括公理，它的形式表述是：如果在一个模型中，一阶变元的取值范围是自然数，二阶变元的取值范围是自然数集的有穷子集和余有穷子集，那么这个模型满足直谓概括公理；另外，因为在一阶变元的取值范围与二阶变元的取值范围之间存在一一对应，所以这个模型也满足第五公理。（参见[2]，第124-128 页）由此避免了罗素悖论。第二个例子是正概括公理，它的形式表述是：

如果在一个模型中，一阶变元的取值范围是完备度量空间，二阶变元的取值范围是完备度量空间的所有闭集，那么这个模型满足正概括公理；另外，因为在一阶变元的取值范围与二阶变元的取值范围之间存在一一对应，所以这个模型也满足第五公理。这个一致性证明依赖于一个范畴论版本的巴拿赫固定点定理。（参见[19]，第16-18 页）由此也避免了罗素悖论。

由此可见，我的构造方法通过六个步骤循序渐进地解决了凯撒问题。实际上，这六个步骤还可以被总结为三个阶段：第一阶段包括第一步和第二步，主要是关于抽象对象的隐定义和显定义；第二个阶段包括第三步和第四步，主要是从局部的对象层面上升到全局的领域层面；第三个阶段包括第五步和第六步，主要是关于罗素悖论的产生及其解决。我的构造过程是：通过第五公理来解决休谟原则所面临的凯撒问题，但是第五公理在解决凯撒问题的过程中导致罗素悖论，所以通过避免罗素悖论来解决凯撒问题。上述构造过程表明，凯撒问题的解决依赖于罗素悖论的解决，而罗素悖论的解决又依赖于固定点的存在，因此，固定点是解决凯撒问题的必要条件。

4 通向混合问题的解决方案

我已经说明，跨领域问题包括三种情况，凯撒问题是其中一种情况。既然我已经解决了凯撒问题，也揭示出这个解决方案的必要条件，那么这个必要条件也应该是解决跨领域问题的必要条件。例如，我提出迭代领域的混合问题，这个问题直接导致了迭代领域悖论，因此，与凯撒问题类似，固定点也应该是解决迭代领域混合问题的必要条件。由此推广，对于多元真理论来说，固定点也应该是解决混合问题的必要条件。

反对意见或许认为，迭代领域和生成领域是跨领域问题中的两种极端情况，它们分别涉及语法悖论（罗素悖论）和语义悖论（格雷林悖论），所以针对这两个特殊领域而提出的解决方案或许并不适用于多元真理论的混合问题。然而，我要强调的是，构造方法的出发点是避免固有论题与设定论题所导致的两难困境，在构造的过程中，既慎重地对待未知的东西，又严谨地对待平凡的东西。这种构造方法实际上也是一种认知方法，在认知过程中从不同的方式或视角可以得出不同的范围，但这些范围并不一定投射出不同的领域，正如人们在认知过程中始终面对着同一个世界，只是从不同的侧面去看待这个世界，所以不同的侧面并不投射出不同的世界。构造方法要求，虽然人们从不同的方式和视角可以认识到不同的范围或侧面，但是，这些范围或侧面必须被合并到或整合在同一个领域或世界中，这种合并或整合的做法体现了固定点定理的思想。

在模仿凯撒问题解决方案的基础上，我通过劳维尔固定点定理（也被称为对角线定理）为混合问题的解决方案建立一个必要条件。劳维尔固定点定理是说（参见[6]，第303-306 页）：

任给三个集合X、Y 和Z，Id:X →X，β :X →Y，f :X ×Y →Z，α :Z →Z，令g=α ◦f ◦(Id,β):X →Z，假设β 是满射：如果α 没有固定点，那么f 不能表征g；相反，如果f 可以表征g，那么α 有固定点。

这里，f :X×Y →Z 可以表征g :X →Z，当且仅当，∃y ∈Y(g=λx.f(x,y))。我对这个定理的哲学意义进行如下解释。在混合问题的背景下，X 和Y 可被看作是两个不同的领域，Z 被看作是真值。这个定理中所提到的函数可以被解释为：

1.函数Id 是把X 这个领域恒等地映射为它自身。

2.函数α 把真值映射为真值，这相当于是命题连接词的真值函数。

3.函数β 是把一个领域X 映射为另一个领域Y，这相当于一个翻译函数，它把只涉及一个领域的单纯语句翻译为只涉及另一个领域的单纯语句。

4.函数(Id,β)把一个领域X 映射为两个领域的序对X ×Y，这也相当于一个翻译函数，它把只涉及一个领域的单纯语句翻译为涉及两个领域的混合语句。

5.函数f 把两个领域的卡氏积X ×Y 映射到真值Z，这相当于是一个赋值函数，它把真值赋予涉及两个领域的混合语句，即判定一个混合语句的真假。

6.虽然函数g 是一个复合函数，但它最终把一个领域X 映射为真值Z，这也相当于一个赋值函数，它把真值赋予只涉及一个领域的单纯语句，即判定一个单纯语句的真假。

在这个定理中，f 可以表征g，这意味着，一个给混合语句赋值的函数可以表征一个给单纯语句赋值的函数，或者简化地说，一个涉及两个领域X×Y 的混合语句可以表征一个只涉及一个领域X 的单纯语句；也就是说，即使人们从两个不同的视角认识到两个不同的领域X×Y，但这两个不同的领域仍然是在描述同一个领域X，所以一个混合语句仍然可以表征一个单纯语句。根据这个定理，如果真值函数α 没有固定点，那么混合语句的赋值函数f 不能表征单纯语句的赋值函数g；相反，如果混合语句的赋值函数f 可以表征单纯语句的赋值函数g，那么真值函数α 一定有固定点。由此可见，这个定理为混合问题的解决方案建立了一个必要条件：如果真值函数没有固定点，那么混合语句不能表征单纯语句，也就是说，混合问题是不可解决的；相反，如果混合问题是可以解决的，也就是说，混合语句可以表征单纯语句，那么真值函数一定有固定点。因此，真值函数有固定点，这是解决混合问题的必要条件。

从劳威尔固定点定理的角度看，多元真理论对混合问题的现有解决方案都是局部的，没有看到混合问题、悖论问题与固定点问题之间的内在关联。我有必要从固定点定理角度对混合问题的现有解决方案做出评价。根据固定点定理，混合问题不仅涉及三个函数，即翻译函数（从X 到X×Y）、赋值函数（从X×Y 到Z）以及真值函数（从Z 到Z），也涉及如何把这三个函数统一在一起（即f 可以表征g）。但是，混合问题的现有解决方案都只谈及上面三个函数中的一个，并没有全局地看待混合问题。

首先，林奇的方案只聚焦于翻译函数。在林奇看来，对于“造成疼痛是恶的”这个混合语句，虽然它表面上涉及三个领域，即物理领域（“造成”）、心理领域（“疼痛”）和道德领域（“恶的”），但经过释义（paraphrase），它可以被翻译为“我们不应该造成疼痛”，这个语句只对应于道德领域。因此，一个混合语句可以被翻译为一个单纯语句。（参见[8]，第340-341 页）在我看来，林奇的方案只说明了翻译函数，即把一个涉及两个领域X ×Y 的混合语句翻译为只涉及一个领域X的单纯语句，但这个方案既没有说明赋值函数，也没有说明真值函数。我还认为，林奇颠倒了翻译的方向，不是把混合语句翻译为单纯语句，而是相反地，应该把单纯语句翻译为混合语句。原因在于，人们始终面对的是一个单一的领域X，如果在实际认知过程中由于不同方式或角度而触及到不同的领域X×Y，那么他们应该尽力尝试用旧领域X 来解释和说明新领域与旧领域之间的混合X×Y，即把单纯语句翻译为混合语句，这是一种认知保守策略，这个策略不仅是自然的，而且是可靠的。

其次，比尔的方案只聚焦于真值函数。在比尔看来，多值逻辑对推理有效性的说明可以用来解决推理层面的混合问题。在多值逻辑中，有效性不是被看作保真，而是被看作保特指值，多元真理论中的多个真相当于多值逻辑中的多个特指值，混合层面的推理问题相当于有多个特指值的多值逻辑推理。（参见[1]，第380-382 页）在我看来，比尔的方案只说明了真值函数，把混合语句的推理看作是从多值Z′到多值Z′的真值函数关系，这里，经典逻辑的二值Z 被替换为非经典逻辑的多值Z′，但这个方案既没有说明翻译函数，也没有说明赋值函数。我认为，比尔似乎已经看到混合问题的关键：一方面，解决混合问题的必要条件是，真值函数（α:Z →Z）有固定点，但是，经典逻辑的真值函数（例如否定函数）并没有固定点，所以二值逻辑在很大程度上难以解决混合问题；另一方面，多值逻辑的真值函数（α′:Z′→Z′）有固定点，例如，弗协调逻辑LP 有三个真值，包括1（真）、b（既真又假）和0（假），其中1 和b 是特指值，所以多值逻辑在某种程度上可以更好地解决混合问题。但是，比尔的方案没有揭示出可表征性与固定点之间的内在关联。

最后，谢尔的方案只聚焦于赋值函数。在谢尔看来，对于“造成疼痛是恶的”这个混合语句，有三个因素确定这个语句的真值：物理因素“导致”的完成（fulfillment）、心理因素“痛苦”的指称（reference）以及道德因素“x 是恶的”的满足（satisfaction）。因此，这个语句是真的，当且仅当，“‘痛苦’的指称的导致”的完成者满足“x 是恶的”（the fulfiller of“the causing of the referent of‘pain’”satisfies“x is bad”）（参见[11]，第328 页）。在我看来，谢尔的方案只说明了赋值函数，一个涉及两个领域X×Y 的混合语句通过不同的方式（指称、完成和满足）被赋予了真值Z，但这个方案既没有说明翻译函数，也没有说明真值函数。我认为，谢尔的方案偏重哲学层面的解释，缺少逻辑层面的可操作性。我不清楚的是，从不同的赋值方式所得出的结果是什么：如果从不同的赋值方式得出不同的结果，也就是说，像非经典逻辑那样，有多个特指值，那么谢尔的方案等同于比尔的方案，所以混合问题的解决仍然依赖于多值逻辑；相反，如果从不同的赋值方式得出相同的结果，也就是说，像经典逻辑那样，只有唯一一个真，那么混合问题的解决仍然局限于经典逻辑，但在这种情况下，不同的赋值方式似乎是一种多余的做法。

5 简短的结语

本文的论证思路是在两个框架下分别揭示出两个二难困境。第一个框架是投射论证，包括结构投射论证与范围投射论证：一方面，从结构投射论证可以看出，结构投射的做法导致太多事实；另一方面，从范围投射论证可以看出，范围投射的做法导致太多领域。结构投射论证与范围投射论证是非常相似的，它们的不合理之处体现在对应论题上，它背后隐含着一个两难困境：如果从实在论意义上理解对应论题，那么很难说明人们如何认知地通达到被投射的对应物；如果从反实在论意义上理解对应论题，那么很难说明被投射的对应物如何具有主体间的可分享性。第二个框架是跨领域问题，包括凯撒问题和混合问题：一方面，凯撒问题是说，如何确定任意一个对象与一个抽象对象是相等的；另一方面，混合问题是说，如何判定一个涉及两个领域的语句是真的。凯撒问题与混合问题是非常相似的，它们都面临着同样的两难困境：如果被投射的对象（范围）是非独立的，那么根据对象（范围）的给出方式不是对象（范围）的固有属性，被投射或被呈现的对象（范围）没有确定的对应物；如果被投射的对象（范围）是独立的，那么投射或设定的做法是多余的，甚至有可能导致矛盾。

然而，本文的目的并非是纯粹批评性的，我也尝试给出凯撒问题和混合问题的解决方案。解决这些问题的关键在于，是否存在既被设定但又固有的东西，我把这看作是一种固定的东西，并且在固定点定理中寻求解决方案。首先，我通过构造方法给出了凯撒问题的解决方案，构造的过程包括六个步骤：数步骤、外延步骤、上升步骤、置换步骤、悖论步骤和固定点步骤。这个构造过程表明，凯撒问题的解决依赖于罗素悖论的解决，而罗素悖论的解决又依赖于固定点的存在，所以固定点是解决凯撒问题的必要条件。其次，我对劳威尔固定点定理的哲学意义进行了阐释，由此说明混合问题不仅涉及三个函数，即翻译函数、赋值函数和真值函数，而且涉及如何把这三个函数统一在一起。根据劳威尔固定点定理，如果一个赋值函数可以表征翻译函数、赋值函数和真值函数这三个函数的复合函数，那么真值函数存在固定点。由此得出的结论是，如果混合语句的赋值函数可以表征单纯语句的赋值函数，那么真值函数一定存在固定点。因此，固定点也是解决混合问题的必要条件。在此基础上，我还指出，混合问题的现有解决方案都是片面的：林奇的方案只聚焦于翻译函数，比尔的方案只聚焦于真值函数，谢尔的方案只聚焦于赋值函数。