构建深度学习课堂 促进数学核心素养的养成*

(浙江省教育厅教研室，浙江 杭州 310012)

深度学习源自于人工智能范畴的概念，是对人类思维活动的模拟，它被定义为“一系列试图使用多重非线性变换对数据进行多层抽象的算法”.当深度学习移植到教育领域后，至今没有统一的界定，但在深度学习与浅层学习的差异性及深度学习的本质理解上基本趋同.深度学习不是简单的模仿练习，也不是停留在问题的解决层面，而是触及问题的本质，发现问题的源与流，提升学生探究和自主创新能力的学习.深度学习是以创新方式向学生传递丰富的核心学习内容，引导他们有效学习并能将其所学知识付诸于应用.现今强调深度学习是推进课程改革、培养学生核心素养的需要，《普通高中数学课程标准(2017年版)》倡导“学生要开展基于项目的学习、基于问题的学习、基于探究的学习、基于挑战的学习”，这是深度学习方式的体现.站在数学教学角度看深度学习，有着其自身的特征，下面笔者就数学学科如何开展深度学习作一阐述.

1 深度学习的数学课堂构建

深度学习虽没有统一界定，但在学术界有影响力的观点有：华南师范大学张诗雅教授、东北师范大学马云鹏教授等学者从学习方式角度阐述，他认为“深度学习是一种基于理解与迁移的学习方式，是指学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标，以整合的知识为内容，积极主动地、批判性地学习新的知识和思想，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题”.北京师范大学郭华教授从学习意涵角度阐述，他认为“深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程”.黎加厚教授从学习过程角度提出,深度学习是指在理解的基础上，学习新的知识和新的思想，并将其融入原有的认知结构中，与众多思想进行重组，最终将已有知识迁移到新的情境中解决问题.

站在高中数学教与学的角度看深度学习，深度学习的数学课堂应具备3个特点、5个要素.其中的3个特点是:1)深度学习是有意义的学习，它不是单纯的接受，而是在发现基础上的同化；2)深度学习是基于深度理解的学习，它强调深度体验、深度思考、深度探究、深度整合，发现问题的本质，达成对学科本质和知识意义的深度理解；3)深度学习是批判与质疑的高阶思维学习，它强调了学习阶梯性和思维进阶性，强调了知识的普遍联系与综合应用.5个要素是：揭示本质，渗透思想；深度思考，高阶思维；注重联系，意义建构；强调过程，重视体验；迁移应用，正确结果.

2 高中数学课堂开展深度学习的教学策略

2.1 挖掘内涵，看清问题本质

众所周知，只有把握了数学问题的本质，才能更好地加深对问题的认识.在数学课堂上引导学生开展深度学习，就是要让学生经历新旧知识的整合与探究、数学规律的发现与验证、数学思想方法的渗透与理解，逐步认清数学问题的本质.数学学科的核心内容包括：使用符号阅读与表述、数学对象的运算、图形的认识与图形关系、数据的整理分析等.通过整体的教学内容分析，设计有助于学生深度思考的教学活动，使体现学科本质、关注学习过程和富有深度思考的学习活动真正发生.

图1

例2如图1，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°,则tanθ的最大值是______(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).

(2014年浙江省数学高考理科试题第17题)

分析因为θ就是直线AP与平面ABC所成的线面角，所以当AP在平面ACM中转动时，θ的最大值恰好等于二面角M-AC-B的平面角，这是二面角的最大角特性所致，从而抓住了问题的数学本质，迎刃而解.作PQ⊥BC交BC于点Q，作QR⊥AC交AC于点R，则∠PRQ就是二面角M-AC-B的平面角，故

2.2 倡导深度思考，达到深度理解

在数学学习过程中思维活动不可或缺，而开展符合深度学习要求的思维活动有个必要条件，就是开展具有深度思维的课堂活动，这些活动不是对知识简单的识记、模仿，而是要在理解基础上对问题分析、综合、评价的高阶思维.教师就是要引导学生在具有深度思维价值的课堂活动中实现思维的进阶.

例如，在教授周期函数时，应让学生深入理解以下概念：1)周期函数的定义域是无界的；2)周期函数并不局限于三角函数，非三角函数的周期函数也是存在的；3)定义域为R的函数若有两条不同的对称轴或有一条对称轴和一个对称中心，则它是周期函数；4)并不是每个周期都有最小正周期，如狄利克雷函数；5)两个周期函数的和未必是周期函数，如f(x)=[x]-x+sinx，又如f(x)=sin 2x+sin 3πx；6)里层函数为周期函数的复合函数仍是周期函数.

又如在等比数列起始教学中，有的教师舍不得在理解等比数列概念上花时间，而利用类比思想提出等比概念后，就急于推导通项公式、等比中项、对称性性质，然后急于做练习.笔者的做法是让学生深入理解等比数列的概念，先提出以下一组问题：

1)从整体结构看，等比数列共有几类？(每项均大于0、每项均小于0、正负相间或负正相间这4类，目的是让学生整体上看清等比数列的结构.)

2)若数列{an}是等比数列，则数列{a2n},{a2n-1}是等比数列吗？进一步，数列{a3n+1},{akn+1}(其中k∈N)是等比数列吗？

4)若数列{an}是等比数列，则数列{an+an+1},{an+an+1+...+a2n}是等比数列吗？

通过这些问题的探讨，对等比数列的结构有一定的认识和理解.

2.3 优化知识建构,完善知识体系

数学的学习过程是对数学知识进行不断建构、不断完善的过程.根据建构理论，教师应从学生最近发展区开始引导学生对新旧知识在认知上进行比对、归位与重建.深度学习强调批判性思维，强调在发现的基础上的同化.因此在深度学习状态下，要引导学生主动建构知识，经常性进行联想、推广、质疑，丰富学习内容，从而优化知识结构.

例如，学习完函数奇偶性后，可引导学生认识：函数y=f(x)为奇函数的充要条件是函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称，即函数y=f(x)为奇函数的本质是图像关于坐标原点成中心对称，鼓励学生自主探究“函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是什么，这样的函数可称什么函数”，必要时允许学生求助于几何画板等技术帮助.教师也可点拨:函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数，一般定义“设函数y=f(x)的定义域为D，若对任意x1,x2∈D,且当x1+x2=2a时，恒有f(x1)+f(x2)=2b，则函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形，点P为对称中心”.学生理解了这一原理后，教师可进一步引导学生自主研究或编制求以下函数图像的对称中心：

2)f(x)=x3-3x2+2;

掌握这一原理知识后，教师可进一步鼓励学生应用这一拓展性知识，如

研究透了关于点P(a,b)成中心对称图形的函数y=f(x)图像后，建议学生类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图像关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论，并给出类似的等价命题与相应问题.

在讲解导数应用问题的时候，我们知道，函数极值点的导数为0，那么反过来，导数为0处是否一定是极值点呢？再如，我们还知道，如果导数大于0，那么原函数单调递增，那反之，单调递增函数的导数一定大于0吗？如果函数不可导怎么办？类似这些问题需要学生带着批判性思维去思考，从而提高对问题认识的深刻性.

2.4 经历过程体验，感悟知识源与流

深度学习强调数学课堂是一个生成与预设的课堂，强调教学的过程，要让学生经历知识发生、发展的过程，使知识的形成与获得变得更加自然，真切体会知识的来龙去脉.在实际教学过程中，许多一线教师受课时的限制，往往会忽视这一过程，学生对所学概念还没有深度理解，就开始训练题型，“一个定理+三项注意”式的教学还大量存在，有的教师不顾学生的认知规律，总想着一步到位，基础知识还没有学扎实就开始做高考题，这在习题教学中尤为突出.在落实核心素养教学的今天，有必要从转变教学方式入手，在开展深度学习时，教师不应当过分地超前提示，让学生模仿自己所谓的经验与捷径.在教学中切忌出现“滑过”现象，教师应给学生多留些思考与体验的空间，给学生一点“直觉”“顿悟”的感受机会.

例如在椭圆定义的教学过程中，教师可以用多种方式让学生经历概念的生成过程：首先让学生观察生活中的一些椭圆物体，圆柱、圆锥被平面所截的截口线、圆形纸片的翻折折痕等，圆被压缩可变椭圆；其次借助几何画板观察到两定点距离之和为常数的动点轨迹、到两定点的连线斜率积为常数的点的轨迹，然后概括椭圆定义，从而感悟椭圆定义的形成过程.

2.5 关注学习结果，夯实“四基四能”

深度学习既关心过程也关心结果.从数学角度，深度学习的结果不能狭义地理解为只是对知识的一个解答，其中应当包含数学的基本思想和基本方法等.课程改革要求培养学生的“四基四能”，强调发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，这正与过程中经历知识发生、发展相互对应，是深度学习过程性结果的具体呈现，更是素养的集中体现.

例3观察以下各等式：

分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

AB2=(2RsinA)2+(2RsinB)2-

2·2RsinA·2RsinBcosC=(2Rsin120°)2，

即在已知△ABC中,若A+B=60°，则

本题体现了归纳猜想的数学思想，有助于培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.

3 引导学生开展深度学习的教学构建

深度学习的课堂有其基本的要素，但没有固有的模式，因此，在实际课堂教学中应设计一些具有开放性、探索性的“高阶思维”问题是引导学生开展深度学习的关键.实践表明，通过精选素材、巧设问题、启发探索、引申质疑、归纳提炼可促进学生深度学习，下面给出具体的教学案例片断.

案例1“为什么截口曲线是椭圆”的探究.

环节1创设情境，问题导入.

播放PPT,请学生观察生活中的几个现象：小球手电筒照射下的影子、太阳光下球的影子、刀切萝卜的截口、圆柱锥形水杯倾斜时水面的形状、手电筒斜射下在地面上的影子,你能发现一些什么规律吗？

说明采用立体感强的三维动画制作课件进行呈现，形象逼真的动态演示给学生创设了想象的空间，也给出富有挑战性的课题让学生去发现问题、提出问题.

环节2抽象概括，提出问题.

分析共同特征，即“当平面斜截一个圆柱或者圆锥时得到的截口曲线是椭圆”.

说明众所周知，椭圆、双曲线、抛物线统称为“圆锥曲线”，它源自于用平面截圆锥面.从生活中的椭圆入手，重构历史，让学生经历从椭圆截面定义到书本轨迹定义的知识发生过程，很自然地把实际问题转化为数学问题，启发并引导学生用数学的方法进行探究和证明.

环节3问题证明，深度思考(先证平面斜截一个圆柱得到的截口曲线是椭圆).

证明(用丹德林双球法)如图2， 过点P作圆柱的母线与两球分别切于点M,N，在空间中，过球外一点所作的切线长度相等，从而PE=PM，同理可得PF=PN.故PE+PF=PM+PN=MN为定值.

说明这一证明史称“丹德林双球法”，构造强，富有创造性，不易想到，要引导学生细细口味.建议学生再想新办法，并给予证明.

图2 图3

另证如图3建立通过求出曲线上点P的坐标所满足的方程形式来判断曲线的形状.作点P在圆柱底面的投影P′，投影点P′的曲线方程为x′2+y′2=r2(其中r为底面圆的半径).因为y=y′,xcosθ=x′,所以

(xcosθ)2+y2=r2,

(1)

特殊情况:当θ=0°时，式(1)表示圆的方程；当0°<θ<90°时，式(1)表示焦点在x轴上的椭圆.

说明利用圆柱的特殊性，进一步从代数角度进行证明.曲线的轨迹除了从几何角度考虑外还可以利用点P的坐标所满足的方程形式来判断曲线的形状.从“几何”和“代数”两个角度进行考虑使得证明更加完备，也培养了学生的问题转化能力，拓宽了分析问题的思路.

图4

再证当平面与圆锥母线都相交时得到的截口曲线是椭圆.

仍用“丹德林双球”证明，如图4,过点P作圆锥的母线与两球分别切于点M,N.在空间中，由球外一点有无数条切线并且切线长度相等得PE=PM，同理可得PF=PN.故PE+PF=PM+PN=MN为定值.

环节4拓展应用，引向深入.

例4在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水,将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可能呈现出的所有几何形状，画出直观示意图.

图5

水平面可能出现的几何形状如图5所示.

教师追问：若给出的是密闭透明的圆锥内装一定体积的水，情况如何？

例5如图6，一个半径为2的球放在桌面上，一束平行光线与桌面成30°角，球在桌面上的投影是什么形状？请求出离心率.

随着平行光与桌面角度的变化，球在桌面上形成的投影形状也在发生相应的变化，其实这就相当于一个圆柱与平面相交得到的截面问题.球在桌面上的投影是椭圆，且

故

图6 图7

例6如图7，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是

( )

A.圆 B.椭圆

C.一条直线 D.两条平行直线

分析由AB长度固定及△ABP的面积为定值得点P到AB的距离为定值.又到一条直线的距离为定值的点形成的轨迹为以这条直线为中心轴的圆柱侧面,从而点P既在平面α上又在圆柱的侧面上，也就是相当于圆柱与平面相交的截面问题(椭圆面).

这是一堂几何拓展课的教学片断，借助于信息技术演示来体验、观察、发现各种可能的截面.最后通过实验观察、思辨质疑、操作确认、推理证明完成一个个问题.

这样的学习就是问题引导下的深度学习，培养了学生发现问题、提出问题、作图表达、推理论证等能力，也促进了学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养的提升，从而实现了高阶思维.

在现实课堂教学中，如何在有限的教学时间内引导学生做到深度学习确实不易，既要完成既定的教学任务，又要让学生尽量充分地去体验学习的过程，这是一线教师开展深度学习最难解决的矛盾.当然要引导学生开展深度学习，首先要求教师要对教学内容进行深度学习，只有这样才能深度理解教学内容、批判质疑有关问题、揭示问题的本质.