考虑剪切变形效应下波形钢腹板组合箱梁的矩阵分析方法

罗奎，冀伟，马万良

考虑剪切变形效应下波形钢腹板组合箱梁的矩阵分析方法

罗奎，冀伟，马万良

(兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070)

为精确分析钢腹板剪切变形效应对波形钢腹板组合箱梁位移的影响，基于势能驻值原理以波形钢腹板组合箱梁截面的竖向位移、弯曲角位移及剪切角位移为未知位移函数，推导出波形钢腹板组合箱梁在考虑钢腹板剪切变形效应下的单元刚度矩阵和结点荷载列阵。根据推导所得的单元刚度矩阵和结点荷载列阵，采用MATLAB软件编制考虑钢腹板剪切效应影响的波形钢腹板组合箱梁位移计算的求解程序。MATLAB求解程序计算所得挠度值的正确性，得到实测值和三维有限元值的验证。研究成果将考虑剪切变形效应下波形钢腹板组合箱梁力学性能复杂计算的问题，方便地纳入到普通杆系结构矩阵位移结构体系中，避免了ANSYS有限元模型建立和求解的复杂性，可为今后波形钢腹板组合箱梁桥的设计计算提供参考。

波形钢腹板组合箱梁；剪切变形；刚度矩阵；势能驻值原理；挠度

波形钢腹板的厚度较薄，且其外观为波折状，钢腹板受到剪切作用将会产生很大的剪切变形，从而导致波形钢腹板组合梁的变形明显增大。国内外众多学者在波形钢腹板组合箱梁桥的剪切性能方面开展了大量的研究工作：Khalid等[1]研究了在正常使用极限状态下，波形钢腹板的剪切变形引起的主梁的变形将随主梁高跨比的增加而增大，其增大幅值可达到10%~40%；刘保东等[2]在考虑波形钢腹板剪切变形通过模型试验和有限元分析得到，剪切变形对波形钢腹板箱梁的挠度影响较大，剪切变形可使挠度增大44.7%；Samanta等[3]提出了波形钢腹板的剪切模量和其自身的外形尺寸密切相关；Hassanein等[4]对波形钢腹板的剪切屈服强度进行了研究；Köesdi等[5]研究了因波形钢腹板的剪切变形而引起的翼板附加横向弯矩；李宏江等[6]研究了剪切变形对波形钢腹板箱梁挠度的影响，指出不同的剪跨比下，剪切变形对箱梁挠度的影响不同；冀伟等[7-8]综合考虑箱梁的剪力滞效应和钢腹板剪切变形，推导出了波形钢腹板组合箱梁的挠度计算公式；李立峰等[9-10]针对波形钢腹板的抗剪性能开展了大量的研究工作；聂建国等[11]建立了考虑腹板剪切行为的波形钢腹板理论模型，将波形钢腹板的弯曲行为分解为桁架作用和弯曲作用，给出了钢腹板剪切变形的简化计算的方法。虽然国内外学者在波形钢腹板组合箱梁桥的剪切性能方面的研究已取得了显著的成就，但目前对在考虑钢腹板剪切效应下波形钢腹板组合箱梁桥的矩阵分析方法的研究成果较少。大多数学者推导的理论解析解只适用于特定的边界条件和荷载，此外采用ANSYS有限元建立实体模型进行分析费时费力。因此，本文提出波形钢腹板组合箱梁桥挠度计算的一种简便方法，即矩阵分析方法，可为今后该桥型的设计提供一定的参考。

1 波形钢腹板组合箱梁的单元刚度矩阵

1.1 基本假定

1) 假定波形钢腹板在纵向平面内的压缩−拉伸刚度可以忽略不计，只考虑腹板内的剪切刚度；

2) 在变形后，混凝土顶、底板各自满足平截面假定，但波形钢腹板组合箱梁整个截面不符合平截面假定，其纵向位移满足刚性截面假定；

3) 假设混凝土顶、底板竖向纤维间无相互挤压，忽略混凝土顶底板平面外剪应变和横向正 应变[12]；

4) 混凝土顶、底板和波形钢腹板均为理想的弹性材料，除了剪切模量的计算外，其他的泊松比假定为0，不考虑剪力滞效应的影响；

5) 假设梁在弹性范围内工作，忽略普通钢筋和预应力钢筋的影响[12]，不考虑梁的扭转；

6) 梁的横向翘曲忽略不计。

如图1所示，波形钢腹板组合箱梁可视为由混凝土顶板、底板和波形钢腹板组合而成。为研究波形钢腹板剪切变形的影响，本文将波形钢腹板组合箱梁截面的位移分为竖向位移、弯曲角位移及剪切角位移3部分。

引入直角坐标系，坐标原点取在箱梁整体截面的形心位置处，轴的正方向与变形前组合梁的轴线方向保持一致。假定组合梁截面存在一竖向对称轴，让面与组合梁的对称平面相互重合。受到竖直面内的荷载作用，波形钢腹板发生剪切变形，混凝土顶板和底板产生转角，如图1所示，假设顺时针转向为正方向。

图1 波形钢腹板梁的分析模型

在应用势能驻值原理推导波形钢腹板组合箱梁的单元刚度矩阵时引入3个广义位移的概念，即箱梁的竖向挠度()，弯曲转角()和剪切转角()。波形钢腹板组合箱梁的横截面细部尺寸如图2所示，其混凝土顶板、腹板和混凝土底板的任意一点的纵向位移可以表示为：

图2 梁的横截面尺寸示意图

其中：

式中：u()表示顶板的纵向位移；u()表示波形钢腹板的纵向位移；u()表示底板的纵向位移；h为顶板的下边缘到截面形心的距离；h为顶板中心到截面形心的距离；h为底板中心到截面形心的距离；h为底板的上边缘到截面形心的距离；b为顶板的宽度；b为底板的宽度；t为顶板的厚度；t为底板的厚度；t为波形钢腹板的厚度。

1.2 波形钢腹板组合箱梁总势能的计算

顶板的正应变：

顶板的剪应变：

腹板剪应变：

底板的正应变：

底板的剪应变：

波形钢腹板组合箱梁的总势能包括混凝土顶板、底板和钢腹板的应变能以及外力势能，现将应变能和外力势能计算如下。

顶板内的应变能：

腹板内的应变能：

底板内的应变能：

外力势能：

式中：1，2和U分别为混凝土顶板、钢腹板、混凝土底板的应变能；为外力势能；为作用在梁上的外荷载集度；E，G和G分别为混凝土的弹性模量、剪切模量和波形钢腹板有效剪切模量；为顶底板的剪切修正因子，从而总的应变能为：

式中：为总的应变能。

波形钢腹板组合箱梁的总势能由其应变能和外力势能构成，即：

将式(6)~(10)代入式(11)~(13)，则可求得波形钢腹板的混凝土顶板、钢腹板以及混凝土底板的应变能，再代入式(15)，得到体系的总的应变能，再将式(14)和式(15)代入式(16)得到总势能为：

1.3 波形钢腹板组合箱梁单元刚度矩阵的推导

如图3中的直线梁单元，和两端的位移如图3所示。

图3 梁单元示意图

用适当形式的形函数()对结点位移进行插值来进行数值逼近，即将其()，()和()写成下列形式：

其单元平衡方程可表示为：

其中：

式中：为单元刚度矩阵；为单元结点位移列阵；为单元结点力列阵。

假设形函数为：

将式(18)~(20)以及式(22)代入式(17)，可以求得总势能Π，用势能驻值原理推导波形钢腹板组合箱梁在考虑剪切变形效应下的单元刚度矩阵和结点力列阵，其总势能可以表示成广义位移，和的函数，即：

则由多元函数微分学即知，Π取驻值的充分必要条件是：

由式(24)总势能分别对广义位移，和求偏导数，并将其结果写成矩阵的形式为：

其中：

由式(21)和式(25)可知单元刚度矩阵为：

其中：

结点力列阵为：

2 算例分析

为验证本文在考虑波形钢腹板剪切变形效应下推导的波形钢腹板组合箱梁单元刚度矩阵的正确性，采用MATLAB软件编制了考虑钢腹板剪切变形效应影响下的波形钢腹板组合箱梁位移计算的求解程序。对波形钢腹板组合简支梁桥的挠度进行了计算分析。

2.1 简支梁算例1

将本文采用MATLAB软件编制的波形钢腹板组合箱梁位移计算程序求解得到的挠度值与文献[2]的实测值和有限元值进行比较。文献[2]试验梁截面细部尺寸如图4所示，试验梁总长10 m，计算跨径为9.6 m，梁高0.6 m，混凝土顶板宽2.34 m，其钢腹板厚2.5 mm。混凝土的弹性模量为3.68×1010Pa，钢材采用优质Q235钢。

单位：cm

图5 算例1中不同方法得到的跨中挠度值对比

将本文MATLAB程序的计算值与模型试验的实测值[2]及MIDAS三维有限元计算值[2]进行对比，其对比结果如图5所示。

由图5可以看出，采用本文编制的程序计算的简支梁的挠度值与三维有限元模型的计算值和实测值吻合较好。试验梁的实测值最小，MIDAS有限元计算值最大，而本文程序计算值处于两者之间。出现这种现象的原因是制作试验梁时实际尺寸偏大，导致试验梁的刚度增大，因此试验挠度实测值就偏小；MIDAS有限元值求得的挠度最大可能是在建立模型时忽略了横隔板的影响，MIDAS模型的刚度偏小导致其挠度最大。从而验证了本文所推导的波形钢腹板组合箱梁的单元刚度矩阵的正确性和采用MATLAB软件编制的波形钢腹板组合箱梁位移计算的求解程序的适用性。

2.2 简支梁算例2

将本文采用MATLAB软件编制的波形钢腹板组合箱梁位移计算程序求得的挠度值与文献[6]的实测值和有限元值进行对比，文献[6]试验梁是根据已修建的波形钢腹板箱梁桥(日本新开桥)按缩尺比例制作而成，其横截面尺寸如图6所示。梁总长为2.6 m，计算跨径为2.4 m，跨中单点加载。采用的混凝土材料为C30，波形钢腹为A3优质钢，钢材的弹性模量为E=2.1×1011Pa，泊松比为0.3。

在各级加载条件下，本文程序对跨中挠度计算值与模型试验的实测值和MIDAS有限元计算值[6]进行了对比，结果如图7所示。

单位：mm

由图7可知，采用本文程序计算文献[6]中的实验梁的挠度值与三维有限元模型的计算值[6]和实测值[6]吻合较好。试验梁的本文程序计算值最大，出现这种现象的原因是制作试验梁时实际尺寸偏大，导致试验梁的刚度增大，因此试验挠度实测值就偏小；MIDAS有限元值求得的挠度值也比本文程序计算值小，可能是建立MIDAS模型时把横隔板的数量建立的太多，使其刚度偏大导致其挠度减小。从而验证了本文所推导的单元刚度矩阵的正确性和采用MATLAB软件编制的波形钢腹板组合箱梁位移计算的求解程序的适用性。

图7 算例2中不同方法得到的跨中挠度值对比

2.3 简支梁算例3

将本文采用MATLAB软件编制的波形钢腹板组合箱梁位移计算程序求得的挠度值与文献[10]和文献[13]的实测值和三维有限元模型计算值进行对比，文献[10]和文献[13]中的试验梁是以南宁−百色高速公路上的一座波形钢腹板预应力简支箱梁桥(总长40 m)为原模型，按1:4的缩尺比例进行制作，试验梁计算跨径为9.745 m，试验梁的横截形状如图8所示。

单位：mm

试验梁波形钢腹板厚度为2.5 mm。试验梁混凝土为C50，其弹性模量为E=3.45×1010Pa，混凝土的泊松比为0.167。波形钢腹板采用Q345A结构钢，其厚度为2.5 mm。

各级加载条件下，将本文程序计算的1/4跨和跨中挠度值与模型试验的实测值[13]及ANSYS有限元计算值[12]进行对比，对比结果如图9~10所示。

图9 算例3中不同方法所得的1/4跨挠度值对比

图10 算例3中不同方法得到的跨中挠度值对比

从图9和图10可以看出，采用本文所编制的程序计算文献[10]和文献[13]中的实验梁的1/4跨和跨中挠度值与三维有限元模型的计算值和实测值吻合较好。试验梁的本文程序计算值最大，出现这种现象的原因是制作试验梁时实际尺寸偏大，导致试验梁的刚度增大，因此试验挠度实测值偏小；ANSYS有限元值求得的挠度值也比本文程序计算值小，可能是建立ANSYS模型时把横隔板的数量建立的太多，使其刚度偏大导致其挠度减小。从而验证了本文计算方法的正确性。

文中采用MATLAB软件编制的波形钢腹板组合箱梁位移计算程序使用简单。因为采用ANSYS有限元软件去建立有限元模型，混凝土顶、底板和横隔板需要采用SOLID 45实体单元进行模拟，波形钢腹板采用SHELL 63壳单元进行模拟，且不同的桥梁都得重新去建模，采用ANSYS有限元建立实体模型进行分析费时费力。用本文的位移求解程序计算不同的波形钢腹板组合箱梁桥时，只需改变程序中的材料参数、计算跨径、边界条件以及荷载工况即可，使得计算过程变得很简单。

3 计算结果对比分析

为讨论本文位移计算的求解程序的适用范围，选取文献[14]中的计算模型的截面尺寸，改变其计算跨径，其他条件和文献[14]保持不变。波形钢腹板的厚度为2 mm，波形钢腹板的水平段长度为40 mm，斜板段的水平投影为32 mm，波高为24 mm，截面尺寸如图11所示。采用C50混凝土，弹性模量为3.5×104MPa，泊松比为0.166 7；钢材的弹性模量为1.95×105MPa，泊松比为0.3；为对比不同长细比下本文位移求解程序的适用性，将计算跨径依次取为7.200，1.44和0.432 m，则其相应的长细比为47.84，9.57和2.87。

单位：mm

采用ANSYS 18.0有限元软件建立三维有限元模型。考虑到混凝土顶、底板和横隔板厚度较大，采用SOLID 45实体单元建模，而波形钢腹板采用SHELL 63壳单元进行建模，建立的三维有限元模型如图12所示。

图12 ANSYS有限元节段模型

先验证建立的ANSYS三维有限元模型的正确性，建立计算跨径为7.055 m的有限元模型与文献[14]进行对比，在跨中集中力=20 kN作用下，对比结果如表1所示。

从表1可以看出，ANSYS有限元模型的计算值与文献[14]中的计算值吻合较好，相对误差在0.57%以内，从而验证了所建立的ANSYS三维有限元模型的正确性。

表1 集中荷载作用下挠度值对比

不同长细比的波形钢腹板组合箱梁桥，在跨中集中力=20 kN作用下，将采用本文程序计算的跨中挠度值和ANSYS三维有限元值进行对比，对比结果如表2所示。

表2 不同长细比跨中挠度值对比

Table 1 Comparison of mid-span deflection with different slenderness ratio

4 结论

1) 考虑波形钢腹板的剪切变形效应，基于势能驻值原理推导了波形钢腹板组合箱梁的单元刚度矩阵。采用MATLAB软件根据其单元刚度矩阵和结点荷载列阵编制波形钢腹板组合箱梁位移计算的求解程序。求解程序计算所得的挠度值与三维有限元模型的计算值和实测值吻合较好，位移计算程序具有较高的精度，可指导设计和施工。

2) 波形钢腹板组合箱梁挠度计算应计入波形钢腹板剪切变形的影响，位移计算的求解程序使用十分简便，避免了ANSYS三维有限元模型建立和求解的复杂性。

[1] Khalid Y A, han C L, Sahari B B, et al. Bending behavior of corrugated web beams[J]. Journal of Materials Processing Technology, 2004, 150(3): 242− 254.

[2] 刘保东, 任红伟, 李鹏飞, 等. 考虑波纹钢腹板箱梁特点的挠度分析[J]. 中国铁道科学, 2011, 32(3): 21−26. LIU Baodong, REN Hongwei, LI Pengfei, et al. Deflection analysis considering the characteristics of box girder with corrugated steel webs[J]. China Railway Science, 2011, 32(3): 21−26.

[3] Samanta A, Mukhopadhyay M. Finite elementstatic and dynamic analyses of folded plates[J]. Engineering Structures, 1999, 21(3): 277−287.

[4] Hassanein M F, Khabroob O F. Sheer bucking behavior of tapered bridge girders with steel corrugated webs[J]. Engineering Structures, 2014, 74 (9): 157− 169.

[5] Köesdi B, Jer B, Dunai L. Bending and shear interaction behavior of girders with trapezoidally corrugated webs[J]. Journal of Constructional Steel Research, 2016, 121(6): 383− 397.

[6] 李宏江, 叶见曙, 万水, 等. 剪切变形对波形钢腹板箱梁挠度的影响[J]. 交通运输工程学报, 2002, 2(4): 17− 20. LI Hongjiang, YE Xianshu, WAN Shui, et al. Influence of shear deformation on deflection of box girder with corrugated steel webs[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering, 2002, 2(4): 17−20.

[7] 冀伟, 蔺鹏臻, 刘世忠. 波形钢腹板PC组合箱梁桥的挠度计算与分析[J]. 西南交通大学学报, 2018, 53(1): 46−55. JI WEI, LIN Pengzhen, LIU Shizhong. Deflection calculation and analysis of PC box girder bridge with corrugated steel webs[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2008, 53(1): 46−55.

[8] JI Wei, DENG Lu, LIU Shizhong, et al. Study of vertical bending vibration behavior of continuous prestressed concrete box girders with corrugated steel webs[J]. Advances in Structural Engineering, 2016, 19(6): 953− 965.

[9] 李立峰, 侯立超, 孙君翠. 波形钢腹板抗剪性能的研究[J]. 湖南大学学报(自然科学版), 2015, 42 (11): 56−63. LI Lifeng, HOU Lichao, SUN Juncui. Research on shear mechanical property of corrugated steel webs[J]. Journal of Hunan University (Natural Science), 2015, 42(11): 56−63.

[10] 周绪红, 孔祥福, 侯健, 等. 波纹钢腹板组合箱梁的抗剪受力性能[J]. 中国公路学报, 2007, 20(2): 77−82. ZHOU Xuhong, KONG Xiangfu, HOU Jian, et al. Shear mechanical property of composite box girder with corrugated steel webs[J]. Chinese Journal of Highway and Transport, 2007, 20(2): 77−82.

[11] 聂建国, 李法雄. 考虑腹板剪切行为的波形钢腹板梁理论模型[J]. 中国公路学报, 2011, 24(6): 40−48. NIE Jianguo, LI Faxiong. Theory model of corrugated steel web girder considering web shear behavior[J]. China Journal of Highway and Transport, 2011, 24(6): 40−48.

[12] 姚浩, 程进. 基于变分原理的波形钢腹板箱梁挠度计算解析法[J]. 工程力学, 2016, 33(8): 177−184. YAO Hao, CHENG Jin. Analytical method for calculating defection of corrugated box girders based on variational principle[J]. Engineering Mechanics, 2016, 33(8): 177− 184.

[13] 侯健. 波纹钢腹板预应力混凝土组合箱梁抗剪性能研究[D]. 西安: 长安大学, 2007. HOU Jian. Research on shear behavior of prestress concrete composite box girder with corrugated steel webs [D]. Xi’an: Chang’an University, 2007.

[14] 叶华文, 胡劼成, 史占崇, 等. 波形钢腹板组合梁挠度计算方法对比研究[J]. 铁道建筑, 2019, 59(5): 1−6. YE Huawen, HU Jiecheng, SHI Zhanchong, et al. Comparative analysis of deflection calculation methods for composite beam with corrugated steel webs[J]. Railway Engineering, 2019, 59(5): 1−6.

Matrix analysis method considering shear deformation effect for composite box girder with corrugated steel webs

LUO Kui, JI Wei,MA Wanliang

(College of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

In order to accurately analyze the effect of shear deformation of steel web on displacement of corrugated steel web composite box girder, the vertical displacement, bending angular displacement and shear angular displacement of corrugated steel web composite box girder were considered as unknown displacement functions based on the potential energy standing value principle. The element stiffness matrix and the node load array of the corrugated steel web composite box girder under the shear deformation effect of the steel web were derived. According to the derived element stiffness matrix and node load array, the solution program for calculating the displacement of corrugated steel web composite box girder considering the influence of steel web shearing effect was compiled by MATLAB software. The correctness of the deflection calculated by the MATLAB program was verified by the measured values and the three-dimensional finite element values. The research results will consider the complex calculation of the mechanical properties of corrugated steel web composite box girder under shear deformation effect, which is conveniently incorporated into the matrix displacement structure system of ordinary bar system structure, avoiding the complexity of establishing ANSYS finite element model and solving it and can provide reference for design and calculation of composite box girder bridge with corrugated steel webs in the future.

composite box girder with corrugated steel webs; shear deformation; stiffness matrix; the principle of potential energy; deflection

U448.21+6

A

1672 − 7029(2019)10− 2505 − 09

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.10.017

2019−01−14

国家自然科学基金资助项目(51708269，51868039)；甘肃省自然科学基金资助项目(18JR3RA115)；甘肃省住房和城乡建设厅科研项目(JK2018−46)

冀伟(1982−)，男，山西阳泉人，副教授，博士，从事组合桥梁的分析计算与设计理论研究；E−mail：jiwei1668@163.com

(编辑 阳丽霞)