注重概念形成过程，深刻理解概念本质

蒙正红

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）21-0-02

本节课是上教版九年级义务教育教材上学期第26章的第一节课——二次函数的概念。二次函数是初中数学学习中的重要内容之一，它是在学习了正比例函数、反比例函数、一次函数之后的学习内容，它不仅强化了学生对函数概念的深入理解、对研究函数方法进一步熟悉、而且也为高中继续学习其它函数打好基础。因此本节课采用了整体感知的教学方法，让学生从已学概念函数出发，通过类比一次函数的学习过程，即通过实例，概括、归纳逐步形成，来学习二次函数。同时，函数的学习也与其他数学知识内容相联系，从而使学生逐步形成运用模型解决问题的意识。在教学中要重视学生经历二次函数概念的形成和建构过程，在概念的学习过程中，让学生体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义，从而发展学生的学习能力。现以“二次函数的概念”一课的课堂教学片段为例，谈谈自己在概念教学中的一些想法。

一、课堂教学实录及策略分析

（一）联系生活，引出概念

1.复习提问，回顾旧知：

（1）什么是函数？

（2）我们之前已经学习过哪些函数？

（3）这些函数解析式和定义域分别是怎样的？

课堂实录：通过老师的一系列问题，使学生理解学习函数的基本套路，对于函数的定义域是怎样确定的，可以追问：三个函数的定义域都是一切实数吗？生：不是，正比例函数和一次函数的定义域是一切实数，反比例函数的定义x≠0的一切实数。师追问：为什么？生：因为正比例函数和一次函数是表示自变量的代数整式，而反比例函数是表示自变量的代数分式。在一次函数y=kx+b中，这里的k取值有什么要求？生答：k≠0。当k=0时，解析式为y=b（b为常数），这就不是一次函数了。师：此时是什么函数？生：常值函数。师：这里的b可以为零吗？生：可以。层层设问目的是让学生会对之后学习的二次函数的解析式的表达形式有初步的印象。）

2.联系实际，情境引入

师：函数在我们的日常生活中应用十分广泛，下面我们一起来看4个实际问题，其中两个变量之间又会存在怎样的函数关系呢？

（1）一个边长为x厘米的正方形，若它的面积是y平方厘米，则y关于x的函数关系式是________________;

（2）一个圆的半径是x米，另一个圆的半径是1米，若它们的面积和是y平方米，则y关于x的函数关系式是________________;

（3）某厂四月份的产值是100万元，设第二季度每个月产值的增长率相同，都为x（x>0），六月份的产值为y万元，则y关于x的函数解析式是__________;

（4）如图，用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过20米），围成一个矩形花圃，设AB边的长为x米，花圃的面积为y平方米，则x的函数关系式是________________;

策略分析1：在教学设计时我没有选择直接给出概念，而是把教学重点放在了概念的形成过程。复习已学的函数旧知是为了帮助学生回忆函数的思想方法及讨论的内容，弄清变量、函数、常量等概念的内涵，为新知二次函数的概念的学习做好铺垫。其中“类比”是帮助学生正确理解概念的有效方法，因此在引入概念的教学过程中，我设计与一次函数作类比，体会函数学习一般过程;对于实际问题的选择，我引入了公式例题和生活实际问题，同时利用这4个实际问题在讲解实际问题中的定义域时，贯穿整個课堂的始终，使整个课堂有浑然天成的感觉。

（二）合作交流，提炼概念

仔细观察上述4个函数是我们之前学的三类函数吗？归纳它们的共同点，并尝试写出2个具有上述特点的函数关系式。（学生归纳：4个等式的右边都是整式，而且都有二次项。）

课堂实录：根据学生叙述揭示课题——二次函数。师：那么到底什么是二次函数呢？根据刚才的观察和归纳，请哪位同学用比较准确的语言概括一下？（生：我们把具有二次项的整式，叫做关于x的二次整式，4个等式的左边都是关于x的二次整式，右边都是关于x的函数，那么我们把具有这样特征的函数叫做二次函数。（板书课题：二次函数的概念）

【板书：1、概念——一般地，解析式形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，）（a≠0）的函数叫做二次函数。】

追问：表达式中的为什么不等于0？

师：我们判定一个函数是二次函数，通常是从它的形式上去观察，如果表示一个的函数的解析式是一个关于自变量的二次整式，那么这个就是二次函数。那么二次函数的定义域又是什么呢？生：一切实数。师：为什么？生：因为右边的式子是二次整式。【板书：2、定义域——一切实数】

策略分析2：引导学生通过观察、举例、讨论交流、由学生自己得出二次函数的本质特征和相关概念，让学生经历概念的形成过程，发展学生归纳与抽象的能力。问题难易有序，为二次函数的概念提供启发，让学生经历知识的形成过程，经历二次函数概念的抽象过程（如归纳总结环节），发展学生归纳与抽象的能力，在经历概念形成的过程中，再次感受函数概念学习的基本思路，使学生积累了基本数学经验，从整体上提升了学生的数学素养。

（三）全面剖析，理解概念

判断在下列的关系式中，哪些是y关于x的二次函数？

（1）;（2）;（3）;（4）;

（5）;（6）;（7）（其中a、b、c是常数）

（学生合作交流，教师巡视，答疑）

课堂实录：共同辨析（7）y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数）

师：好，请同学来回答下，这个函数到底是什么函数？

生①：我认为当a不等于0时，这个函数是二次函数，当a等于0时，这个函数是一次函数。

生②：同意前半句，因为当a等于0时，只有当且b不等于0时，它才是一次函数，而b也等于0时，就是常值函数了。

生③：我认为当a=0，b不等于0，c=0时，这个函数是正比例函数。

师：我发现，刚才大家在讨论的过程当中，有同学告诉我答案是都可以，那考试的时候你们可以直接填答案“都可以”吗？也有的同学说是二次函数、一次函数和正比例函数，那我想问什么时候是二次函数，什么事一次函数呢？这时需要我们对它答案的每种情况进行分类讨论。）

策略分析3：这里紧扣概念中关键性的字眼，从二次函数一般式的形上面找特点，再从自变量上反思，最后在各个系数上分类讨论，既体现了知其然又知其所以然，又体现了分类化归的思想，既能使使学生彻底理解了二次函数的概念，又可培养学生严谨的科学态度，使他们认识到叙述概念必须确切精炼，从而增强他们运用概念时科学分析的自觉性。本题不仅巩固对二次函数概念的理解，也是加强对一次函数和其它函数概念的理解。对函数概念的理解有了更强的深度和广度。

（四）例题讲练，运用概念

圆柱的体积V的计算公式π，其中r是圆柱底面积的半径，h是圆柱的高。（1）当r是常量时，V是h的什么函数？（2）当h是常量时，V是r的什么函数？

课堂实录：生：第一个V是h的一次函数。师：你是怎么想的？生：因为当r是常量时，就是个常量系数，而就是关于h的一次整式，所以V是h的一次函数。师：当h是常量时呢？生：当h是常量时，我认为V是r的二次函数，因为这时是常量系数，是二次整式，所以V是r的二次函数。

策略分析4：加强函数中对变量的认识，不断挖掘二次函数概念的进一步理解二次函数概念，加深学生对二次函数概念理解和掌握的深度。

（五）拓展延伸，升华概念

1.已知函数，当这个函数是二次函数时，求m的取值范围。

2.变式1，已知函数，当这个函数是二次函数时，求m的值。

3.变式2，已知函数，当这个函数是二次函数时，求m的值，并写出函数解析式。

课堂实录：学生独立思考，教师巡视并提示，在解题时，应时刻注意二次函数的特征。生①：我认为m-1不等于0，且m+2=2，所以m=0，这时函数解析式为。生②：因为这个函数是二次函数，所以我在解析式中找二次项，发现有，而这一项是未知的，可以是二次项，一次项，也可以是常数项，所以我要对这一项进行分类讨论，所以有3种情况。

师：很好，那我们按照刚才这位同学的思路，再来解决一下。

生：当是二次项时，m=0，则;当是一次项时，m=-1，则;当是常数项时，m=-2，则。

生③：老师，我觉得还有一种情况，如果是常数项的话，也可以是0，这时只要考虑系数为0，即m=1就可以了，不需要讨论这一项的指数。即。

师：非常好，我们在考虑这道题的时候，因为这个函数是二次函数，而它的解析式当中本身就有二次项，前面这一项呢就有可能是二次项、一次项或者常数项。那我们在考虑时应从这三种情况分类讨论。

策略分析5：最后变式题的设计和提出，是整节课的一个高潮和精华，学生理解困难较大，为了降低难度，我对题目进行分解，做了变式，层层递进，目的是为了让学生变式2有更好的理解。另外培养学生变换角度分析问题，对二次函数概念进一步升华。

（六）归纳小结，整理概念

这节课我们学习了哪些内容？你有什么收获？

策略分析6：让学生来谈本节课的收获，可以培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。

二、反思与体会

1.重视数学概念的引入方法，激发学习兴趣

数学概念学习是对一种数学对象本质属性的概括抽象，是一个不断感知经验的活动过程，是一个主体不断加工和修正对象，最终达到主体对对象的建构过程。其核心是抽象。这节课让学生原有的认知的基础上，通过具体的例子，提供问题情景，使用知识迁移，类比一个函数的概念，形成二次函数的概念，进一步体会二次函数是非常重要的数学模型来描述变量之间的依赖关系，使学生在问题情境在构建二次函数的意义，提高对二次函数概念的理解。让学生在复习中温故而知新，在应用中得到发展，从而使知识转化为能力。

2.挖掘数学概念的本质特征，學透概念

概念引入后，学生初步地了解了概念的定义，并不等于完全理解概念的本质.为此，还必须在感性认识的基础上，对概念做全面的分析，采用不同的方法从不同角度和方位揭示概念的本质。任何一个概念都有其各自的本质特征，要采用各种手段，分析概念本质特征，以带动对概念的全面理解。尤其是例1中的第7题，不仅是对二次函数的形式辨析的巩固，更是对引出二次函数概念实质的理解，过渡自然巧妙，使学生进一步体会数学分类讨论的思想。在教师的整体调控下，学生通过动脑思考、层层递进，对知识的理解逐步深入，使课堂效益达到最佳状态。

3.不断发展学习的深度和广度，强化概念

在教学中，虽然教师讲清了概念，但不表示学生也真正弄懂了概念，更不知道学生是否理解了概念。而学生学习数学概念是为了解决数学问题，对数学概念理解不深刻，解题的时候就会出现这样或那样的错误。因此，教师应该根据学生的知识结构和能力特点，从深度和广度着手，充分揭示概念的内涵和外延，引导学生正确分析概念，抓住概念的本质，以此加深对概念的理解。通过建立概念体系，习题变式等帮助学生理解概念。

“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵和外延，更有利于学生理解概念。这样学生才能经历概念形成过程、渗透数学思维思想、发展灵活运用能力。