数学创造性思维及培养途径探索

摘 要：创造性思维具有新颖独特、突破常规和灵活变通的特征。文章探索了在数学教学过程中培养学生创造性思维的途径：引发兴趣，激起创造诱因;创设问题情境，引导学生大胆猜想、合理验证;鼓励创新，提倡竞争，重视学生差异性培养。

关键词：数学教学;创造性思维;问题情境

中图分类号：O1-0

一、思维的创造性与“再发现”

创造性思维与它的结果，即发现、发明或创造，是人类智慧的花朵和文明的结晶。所谓创造，一般是指发现新事物、揭示新规律、获得新成果、建立新理论、创造新方法、发明新技术、研制新产品、作出新成绩或解决新问题等。因此创造所涉及的范围（或外延）是非常广泛的，包括科学发现、技术发明、艺术创造和其他物质文化方面的创新。从这种意义上讲，创造性思维就是“创新过程中的思维活动”，即只要思维的结果具有创新实质，则它的思维（过程）就是创造性思维。

思维结果的创新性是有客观标准的。一方面表现为这种结果的自身价值和社会意义，通常应对人类社会的物质或文化的发展具有一定的社会效应和促进作用。另一方面是思维结果的创新程度和它的相对性。在这方面，我们可以按照创新的相对意义从两种不同的角度把创造性思维分成两类：“创造”（严格意义，社会意义）与“再发现”（广义、教育意义）。

创造是指相对于人类认识史而言第一次产生的、前所未有的，具有社会价值或社会意义的思维活动。但是这种活动不能严格地按照时间顺序唯一地确定。由于地域或通信条件等其他因素的作用，创造性的判定要根据实际情况给予评价。例如，在数学科学发展史上，牛顿和尼布莱兹在17世纪后半期几乎同时发现了微积分;勾股定理为我国商高（约公元前11世纪）与希腊的毕达哥拉斯（约公元前540年）先后独立发现;已知三边计算三角形面积的公式是属于希腊的海伦（约公元前60年）和我国的秦九韶（约公元前1202—1261）分别独立发现的。

“再发现”是指相对于思维主题而言，具有一定的自身价值或认识意义的新颖独创的思维活动。著名的荷兰教育家、数学家佛罗登塔尔（HansFreudenthal）就是用这个概念一Reinvenion来看待学生的数学创造性思维的。美国心理学家布鲁纳所倡导的“发现法”，其用意也在于使学生成为知识的发现者，培养学生的发现性思维，这里的发现也是指教育意义上的广义创造性。通常意义上的创造性思维是上述两种类型的总括。严格意义下的创造并不能一蹴而就，它是“再发现”式创造性思维的积累和发展。只有“再发现”式的创造性思维得到充分的发展之后，才有可能产生从量变到质变的飞跃，达到真正的发明、创造的高度。在这种理解下，创造性思维对于一切正常人来说就都是可能产生的，特别是对数学教学具有重要的现实教育意义。

例如，鸡兔同笼问题，即已知笼中鸡兔共有60个头，160条腿，问鸡和兔各有多少只？在解决这个问题时，对于一个未学过方程解法的学生来说，他想到若所有的鸡都单腿独立，而所有的兔子都双腿站立，则腿的总数只有原来的一半，即80条。但因总头数保持不变，且此时鸡的头数等于鸡的腿数，于是用80-60=20，得到兔子单腿站立数，即为兔子头数，剩下的鸡就是40只。这种富有想象力的思路显得新颖独特，别出心裁，就是一种“再发现”式的创造性思维，也是一种突破常规的创造性思维。

二、培养学生数学创造性思维的途径

在数学教学中，大量的所谓创造性思维应是指“再发现”式的，是学生通过自己的独立思维活动解决问题的过程。数学创造性思维的培养，关键在于激发学生创造性思维的发生机制，可采取以下途径。

1.引发兴趣，激起创造诱因

教师要注意在日常教学中活跃学生的数学思维，经常地选择一些发散性强的典型数学知识或问题。如逆向思维常表现为逆用定义、定理、公式、法则，逆向进行推理，反向进行证明，从反方向形成新结论。

例如，已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0，x∈R}，B={x| x<0，x∈R}，且A∩B≠φ，求实数的取值范围。

分析：由条件A∩B≠φ，可知方程x2-4ax+ 2a+6=0的实数根组成一个非空集合并且此方程至少有一个负根。即有两个负根、一负根一零根、一负根一正根三种情况，分别求解比较麻烦，我们可以从反面考虑，先求出方程x2-4ax+2a+6=0有实根的全集U，然后考虑方程x2-4ax+2a+6=0有两根均非负时a的取值范围，最后利用补集求解。

解：设全集U={a|△=（-4a）2-4（2a+6）≥ 0}={a|a≤-1或a≥—}。

若方程x2-4ax+2a+6=0的两根x1，x2均非负，则

解得a≥ 0，又因为a∈U，所以a≥—。

全集U中{a|a≥—}的补集为{a|a≤-1}，所以实数a的取值范围是a≤-1。

2.创设问题情境，引导学生大胆猜想、合理验证

学生对事物的认识，总是通过观察接触该事物，了解该事物的某些已知部分，从而对该事物产生一些感性认识，并以此为素材根据有关知识对该事物进行推论判断，产生一些推测性的看法，这就是猜想或者叫假说，猜测虽然未必是真理，但它却是激起学生创造性思维的火种，是学生发现真理进入新的学科领域的必要征程，然后对猜想进行验证，判断猜想是否正确。在数学教学中的许多解题过程，常常是先对题设进行认真观察思考，然后对可能出现的结果做一个初步的猜想，最后进行严格论证。这样可以帮助我们打破解题时无从下手的僵局。

例如，判断数列xn=sinn是否有极限，并证明你的结论。

解：对于这个问题，通过观察和分析，可以猜测答案只有存在或不存在两种，关键在于对猜测进行理论验证。

假设limsinn=a，有limsin（n+1）=a，limsin（n-1）=a。

因为sin（n+1）-sin（n-1）=2cosnsin1，

这与limcosn=0矛盾。因此limsinn不存在。

3.鼓励创新，提倡竞争，重视学生差异性培养

创新是人类发展与进步的源泉，学生本身也可以通过创新不断获得能力提升。在數学教学活动中要体现竞争性，使每个学生都想表现自我。另外，教学中要重视学生个体差异性，允许学生在认识问题上存在差异。

参考文献：

[1]熊惠民.数学思想方法通论[M].北京：科学出版社，2010.

[2]宫玉荣.数学文化与大学生思辨能力的培养[J].数学学习与研究，2012（19）：14-15.

作者简介：袁德有（1960—），男，教授，研究方向：函数论、高等数学教学。