函数新题赏析

■刘长柏

在近几年高考中，相继出现了一些以考查同学们探究能力和创新能力为目的的创新题。本文精选一些以函数为背景的创新题型，并分类解析，旨在探索解题规律，供同学们学习与参考。

一、创新函数新定义

创新函数新定义问题是高考的一个亮点，它能有效地考查同学们独立获取信息、加工信息以及应用信息解决问题的能力。

例1设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”。现给出下列函数：①f（x）=2x;②f（x）=x2+1;③f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-其中是“倍约束函数”的是 。（写出所有正确命题的序号）

解：①由于f（x）=2x，显然只需常数M＞2即可，所以它是“倍约束函数”。②由于M|x|≥0，|f（x）|≥1，且当x=0时，f（0）=1，故此时不可能存在常数M符合题目要求，可知f（x）=x2+1不是“倍约束函数”。③由f（x）是R上的奇函数，可知f（0）=0，令x2=0，x1=x，则原式为|f（x）|≤2|x|，故存在常数M使之符合定义。答案为①③。

评析：求解此类问题要从两个方面考虑：一是充分理解和掌握新定义所具有的性质，并注意审题;二是对新定义的性质注意掌握和灵活应用。

二、创新函数新性质

创新函数新性质问题是利用给定的定义与性质来处理问题，通过创新函数新性质，结合相应的数学知识来解决有关的函数性质问题。

例2已知函数f（x），x∈[a，b]，g（x），x∈[a，b]，若对于任意的x∈[a，b]，总有，则称f（x）可被g（x）替代。下面给出的函数中，能替代f（x）的是（ ）。

解：由题意可知能被g（x）替代，即当x∈[4，16]时，总有不等式成立。当x=4时，f（4）=2，对四个选项依次代入g（4）进行验证，只有A满足要求。应选A。

评析：此题通过创新定义“f（x）可被g（x）替代”来考查函数的特定性质，这就要求对所定义的性质应理解其含义。

三、创新拓展常规题，考查发散思维能力

发散性思维虽然也遵循已有的规律，但它的思维过程无固定方向或范围，体现为探索途径及结果的新颖性、多样性和独创性。

例3已知函数，且f（a2-3a+2）=f（a-1），则满足条件的所有整数a的和是

解：根据函数f（x）的解析式，可知f（x）为偶函数。由f（a2-3a+2）=f（a-1），可得a2-3a+2=a-1或a2-3a+2=1-a，整理得a2-4a+3=0或a2-2a+1=0，由此解得a=1或a=3。又f（0）=f（1）=f（-1），所以当a=2时，也满足要求。故符合f（a2-3a+2）=f（a-1）的所有整数a的和为1+2+3=6。

评析：在数学题中，有些问题的条件、结论、解题策略是不唯一的或需要探索的（如开放性问题），这类问题能有效考查同学们的思维能力。