基于梯形极点约束执行器的容忍区间

魏一丹，王福忠，姚 波，何 新

（1.沈阳师范大学 数学与系统科学学院，辽宁 沈阳 110034；2.沈阳工程学院 基础教学部，辽宁 沈阳 110136）

在线性系统可靠控制理论中，能够保证闭环系统稳定并使极点配置在目标区域内是控制理论的研究内容之一，但是将极点配置做到精确却较难实现。文献［1］介绍了线性系统区域稳定可靠控制的设计方法；文献［2］和文献［3］分别给出了条形区域、圆盘区域不确定项容忍区间的分析；文献［4］介绍了部分扇形区域极点配置的可靠控制；文献［5］设计了梯形区域极点配置静态输出反馈可靠控制器，并以此为基础，给出了线性系统区域极点配置的充分条件；文献［6-7］给出了线性系统区域极点配置的理论依据；文献［8-9］在考虑传感器故障和执行器故障的前提下将极点配置在指定区域内，但是在实际控制设计系统中，可靠反馈控制器能量消耗较大，性能指标有所下降，因此考虑系统冗余度的问题进入了人们的研究领域；文献［12］给出了基于极点配置容忍区间的概念；文献［13-14］提出了系统硬件冗余度的算法，在以线性系统为前提的条件下，经研究可以给出一个满足区域稳定的可靠控制器。综上所述，对于区域极点约束下容忍区间的分析具有一定的研究意义。

本文在线性系统状态反馈梯形区域极点配置问题的基础上，设计执行器第i条通道信号增益偏差，提出线性系统执行器容忍区间的概念，通过某条信号通道对系统极点配置的影响，得到容忍区间的算法。

1 问题描述

考虑线性系统：

对于线性系统（1），设计状态反馈控制器：

当系统执行器第i条通道出现信号偏差时，即执行器的单一通道增益偏差模型为

此时，闭环系统为

考虑增益偏差模型，线性系统（1）的闭环系统为

图1 垂直条形区域D(h1,h2)

引理 1.1［10］：矩阵A的所有特征值，均配置在由h1、h2组成的垂直条形区域D(h1,h2)（如图1所示)内的充要条件是：存在正定对称的矩阵X，使得下式成立。

图2 扇形区域D2θ

引理1.2［10］：矩阵A的所有特征值，均配置在夹角为2θ的扇形区域D2θ（如图2所示）内的充要条件是：存在正定对称的矩阵X，使得下式成立。

图3 梯形区域D

引理 1.3［11］：存在增益矩阵K，使得执行器的极点配置到D(h1,h2)、D2θ的公共区域D（如图3所示）内的充要条件是：存在正定对称矩阵X和矩阵P，使得下列线性矩阵不等式组(LMIs)成立：

2 主要结果

定理1：对于闭环系统（5），在D(h1,h2)、D2θ相交的梯形区域D中，执行器第i条增益偏差容忍区间为的充要条件是fi1、fi2为式（10）的解。

证明：考虑线性系统（1）执行器第i条通道信号增益偏差，利用引理1.3［11］解得执行器状态反馈控制器K，设计闭环系统矩阵Ac()fi=A+BMiK，其特征值为

若所有极点到x左半轴的最大距离ljmax＜|xij| tanθ，并且极点到左右边界的最大距离limax＜|t-hτ|，lijmax=max | lij|，j=1,2…,n，那么系统所有极点在执行器第i条通道信号偏差时仍处于梯形区域内；当ljmax＞ | xij| tanθ或limax＞ | t-hτ|时，系统在执行器第i条通道出现信号偏差时，部分（或全部）极点已跳出梯形区域；当 ljmax= | xij| tanθ，limax= | t-hτ|时，则为边界状态，即部分（或全部）极点在梯形边界上。

3 数值仿真

考虑如下系统：

设定系统的第2条通道信号增益容忍区间为( )0.4,1.3。由定义可知，系统极点配置在h1=-6，h2=-2，圆心角为π3的梯形区域内的状态反馈矩

阵如下：

可将此闭环系统的极点配置到D(h1,h2)、D2θ的梯形区域D中。图4描述的是执行器在第2条通道信号增益偏差的容忍区间内，闭环系统极点配置在梯形区域内。

图4 第2条通道信号增益偏差容忍区间

现在考虑对系统添加第2条通道容忍区间对梯形极点分布的影响如图5和图6所示。图5描述的是条形区域最优的容忍区间，图6描述的是扇形区域容忍区间。

图4所表示的系统第2条通道容忍区间的最优解就是取图5条形区域与图6扇形区域的交集。

图5 极点到边界的距离

图6 极点到边界的距离

图7 容忍区间对系统极点配置的影响

如图7所示，F∈( )0.4,1.3时，极点落在边界上。当第2条通道信号增益偏差容忍区间超出F∈( )0.4,1.3时，执行器闭环系统极点跳出梯形区域。

通过上述数据分析可知，通过极点到边界的距离可以分析系统容忍区间。

4 结论

本文主要研究了在线性系统中，满足梯形极点配置下，执行器单一通道增益偏差的容忍区间。在控制系统设计中，有许多硬件因素是不可避免的，设计者如果可以掌握系统冗余度，则在设计过程中就可以减少能量浪费并且保证较高的系统安全性能。通过梯形极点配置与信号增益偏差相结合，观察极点分布情况，考虑了系统在某一通道信号增益偏差容忍区间的大小对系统性能的影响程度，并通过数值仿真以及极点配置图像证明了其可行性。