不确定条件下应急资源分配区间规划模型研究*

王飞跃,郭换换,裴甲坤,杨宸宇,裴重伟

(中南大学 防灾科学与安全技术研究所，湖南 长沙 410075)

0 引言

我国化工企业的持续发展，在促进经济增长的同时，也带来新的安全生产问题。据统计仅2018年，我国发生危化品事故达1 902起，造成522人死亡。为减轻此类突发事故的影响，政府和研究人员对突发事件应急资源的分配给予了很大关注[1]。目前对资源分配的研究常聚焦于单一约束条件如时间约束[2]、成本约束[3]、地震伤亡数量约束[4]等，单一约束条件具有一定的局限性和片面性。为解决这种局限性，一些新学科理论的引入和交叉，如聚类分析[5]、系统动力学[6]、灰色理论[7]已被证明是近年来提高应急资源配置准确性的有效途径。

突发事件具有较强的随机性和不确定性，灾害信息和情景的不确定性是目前研究突发事件不确定性应急资源分配的主要考虑因素。近年来，相关学者基于上述不确定性进行了探索和研究。如Ghaffari等[8]分析了自然灾害情景下应急资源配置及路径规划问题；门红等[9]以储罐火灾物资储备体系为背景，建立了多情景事故下的企业应急物资实物储备场所和企业选址的协调优化模型；Mete等[10]通过获取特定时期潜在的灾难信息，研究了医疗用品的存储和分配问题；李丹等[11]建立了1个同时考虑公平和效率的多目标混合整数规划模型；Huang等[12]以突发事件重要交通枢纽覆盖率为目的，在运输成本及服务可达性不确定情况下，分别建立了确定性规划(MODP)、随机规划及鲁棒规划模型，讨论了消防站中多种救灾车辆类型的资源配置问题；詹沙磊等[13]基于需求量及灾区路径连通的随机性，建立了多场景、多物资、多需求点的以公平性、成本及配送效率为目标的随机规划模型。

综上研究成果，目前考虑不确定性的应急资源配置问题的分析方法有很多，但存在问题有：1)随机规划中，收集足够多的历史数据来计算不确定参数的概率分布函数或模拟不同的灾害情景以评估这些参数的工作量巨大；2)以往多目标规划求解，多集中于利用权重系数进行求解，然而利用权重求解具有一定的主观性；3)以往利用区间理论对于化工园区具有多个潜在灾害点的化工事故应急物资分配的研究基本属于空白区。

基于区间数理论的资源分配区间规划模型[14-16]为评估参数的不确定性提供了有效的方法。当样本数量稀少时，区间值可以更好地反映参数值的不确定性，减少对数据信息的需求量；利用区间理论，并基于分层序列算法进行多目标区间规划的求解，有效的避免了权重法在转换多目标时的主观性。因此，为有效分配应急资源，降低化工园区事故的危害性，本文建立了多应急点和多潜在事故点的应急资源优化配置的多目标区间规划模型(以下简称MOIP模型)。

1 应急资源分配模型

1.1 影响因素分析

本文考虑的不确定因素主要有2个：①应急资源需求的不确定性，其不确定性主要取决于以下现象：突发事件是随机的，灾区的人口密度和灾情演变随时间而变化；由于事件的混乱状态，突发事件中收集的信息通常是在没有专业的决策支持工具和足够验证时间的情况下获得，信息的分散在灾区是一种很普遍的现象。②应急资源运输时间的不确定性，在特定的规划期间，很难立即确定具体的应急资源到达时间，因为运输时间受不断变化的因素的影响，如道路等级、损坏或拥堵、车辆故障率和区域天气状况等。一般情况下，只有在确定灾区信息后，决策者才能期望制定准确的应急资源分配计划，以便快速应对紧急情况。

1.2 建模的基本假设条件

在建模前，首先明确以下基本假设条件：

①应急设施一旦建立，较长时间不会变动；

②所有应急需求点均可被应急服务点覆盖；

③运输应急物资的工具具有相同的承载能力；

④每个应急点处应急设施的应急能力及其储存能力有限制。

1.3 多目标规划模型的建立

1.3.1 MODP模型

1)目标函数

①时效性目标函数。定义救援时间效率为最小化应急物资总运输时间，目标函数表示为：

(1)

式中：tij为应急物资从i到j的运输时间，min；yij为0～1变量，表示当应急点i为需求点j提供应急物资时，取值为1，否则为0。

②需求满意率目标函数。需求满意率为需求点实获应急物资量与需求点初始需求量之间的比值：

(2)

式中：xij为应急点i为应急需求点j提供的应急物资的数量；bj为应急需求点j处的应急物资需求量。

③经济效率目标函数。建模使用的物资总成本包括应急设施的建设成本和应急物资的运输成本：

(3)

式中：dij为应急物资从节点i到节点j的运输距离，km；u为应急点i到需求点j应急物资的单位运输费用；ck为在应急点处建立第k种容量类型应急设施的费用；zik为0～1的变量，当在应急点i处建立第k种类型应急设施时取值为1，否则为0。

2)约束条件

①应急设施容量限制。若需求点的应急物资需求量超过应急点的物资容量，则该应急点不再为此需求点提供服务。

(4)

(5)

式中：sk为第k种类型的应急设施的容量。

②需求点覆盖率约束。为确保每个应急需求点处的需求均被满足，定义应急点为应急需求点提供的应急物资应尽量大于等于需求量，且在确保需求点覆盖率的同时，保证供给量在设施容量范围之内。

(6)

(7)

为避免资源的浪费，定义每个应急点可同时向多个事故点提供应急资源。

(8)

(9)

每个应急点处至多建立1种类型的应急设施。

(10)

定义建模中使用非负和0～1的整数变量。

(11)

1.3.2 MOIP模型

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

AX≤B

(7)-(11)

为方便计算，引入Ishibuchi[17]和Molai[18]研究中提到的区间规划的计算方法，将MOIP模型目标函数和约束条件按照定义的方法进行转化。

定义：参数线性规划

s.t.AX≤B

上式目标函数的解称为原区间规划的α水平解，且α∈[0,1]为目标函数的优化水平，z2和z1分别是区间值的上下界。由定义，目标函数式(12)转化为：

(18)

tij2和tij1分别是物资运输时间值的上下界。参数α是目标函数中时间值的优化水平。

MOIP模型中，需求满意率定义为实际物资的需求量与需求区间值最大阈值的比值，此举是为了在保守情况下保证最大化的应急资源需求满意率。

(19)

(20)

(21)

(22)

综上描述，转化后的MOIP模型如下：

AX≤B

(7)-(11)

1.4 多目标优化模型的求解思想

本节采用分层序列法计算所建立的多目标区间规划模型，具体求解过程如下：

1)应急救援的主要目的是保护人身安全。应急资源到达灾区的时间直接影响应急救援的效率和应急设施的服务质量。因此，本文将建模的时效性作为首要目标，需求满意率为次重要目标，最后在满足这2个目标的同时实现成本最小化的目标。

2)利用分层序列法，基于计算机语言编程计算时效性目标函数值。

3)为了在最小化总运输时间的基础上实现应急资源的最大需求满足率，将步骤2)中得到的最小化运输时间目标函数的值作为求解需求满意率目标函数的约束条件，计算得到需求满意率的值。

4)将步骤2)和3)得到的目标函数的解分别视为成本效率目标函数模型的约束条件。计算成本函数模型，得到最终的应急资源分配方案。

2 案例分析

本文以湖南省某化工园区为研究对象，由于湖南地区降雨频繁，时常伴有雷雨天气。因此，在该园区部分企业遭遇雷雨天气袭击的背景条件下，展开对该园区应急资源配置的探讨。已知园区内有9家已全面投产的企业，且企业内多储存一些易燃易爆的危险化学品。本文以这9家企业为潜在事故发生地，分别编号B1～B9。根据该园区资料显示，目前在9家企业周围已规划3处应急点A1，A2和A3作为企业应急物资的主要需求来源地，且每一处应急点处的应急设施的应急能力不同，其应急能力有2种：s1和s2，容量分别为100，150，其建设成本分别为c1=1 000和c2=2 000。其他已知的建模参数：应急出救点和需求点之间的单位距离运输成本u=2.3；应急物资和运输时间的优化水平α=1/3，β=1/2；位置分布示意如图1所示，运输距离根据谷歌地图实测距离确定，见表1。

图1 园区分布示意Fig.1 Schematic diagram of park distribution

表1 运输距离Table 1 Distance of transportation km

2.1 应急物资需求和物资调度时间分析

一般情况下，医疗救助物资与事故人员伤亡之间可以形成定量的关系。因此，本文对湖南省该化工园区化工事故应急物资的需求预测采用需求结构链法。根据园区内各危化品企业的员工数量和各厂区周围暴露的人口密度，充分考虑各企业工作区域的规划面积，参考《危化品应急救援物资配备要求》，预测得到该化工园区部分危化品企业发生事故后的人员救助物资(以消耗类的医疗资源为例)见表2。

另外，对于应急出救点到达应急需求点之间物资调度时间的预测，在谷歌地图实测距离下，以路段设计的自由流速度和综合考虑各路段阻抗影响的条件下行驶速度为基础，计算各路段之间的行驶时间，从而得到各路段之间的物资调度时间(表2)，需要注意的是在考虑不同路段等级影响因素情况下得到的物资调度时间并非与路程是正比关系，即当路程越长时，行驶时间未必越久。

表2 应急物资运输时间及需求区间值Table 2 Interval values of transportation time and demand of emergency material

2.2 模型的求解

1)MOIP模型的求解

基于分层序列法的求解思想，建立第1个目标函数模型如式(23)所示：

(23)

AX≤B

(7)-(9)

由表2数据，利用计算机编程得到以下结果：

obj1=23.01,y11=y12=y23=y24=y25=y36=y37=y38=y39=1

将应急物资运输时间目标函数优解值作为约束条件带入需求满足率目标函数模型得式(24)：

(24)

AX≤B

(7)-(10)

将表2显示数据带入模型，计算得到：

obj2=91.75%,z11=z21=z31=1

x11=27.5,x12=23,x23=18.5,x24=13.5,x25=21.5,

x36=17,x37=14.5,x38=26.5,x39=32.5

为得到同时满足时间效率、需求满足率及成本效率的优化解，分别将时效性、需求满足率目标函数值视为成本效率模型的约束条件，模型见式(25)：

(25)

AX≤B

(7)-(11)

计算模型得到：

obj3=3 144.693,z11=z21=z31=1

y11=y12=y23=y24=y25=y36=y37=y38=y39=1

图2 MOIP模型分配方案Fig.2 Allocation scheme of MOIP model

2)MODP模型的求解

本文计算多目标确定规划模型时，分2种情况进行讨论：①使用运输时间和需求量区间值的最大阈值进行计算(以下简称maxmaxMODP模型)，是为了计算在最大容忍救援时间下满足最大需求时和最小化救援成本的相对优化物资分配方案；②使用运输时间区间值和需求量区间值的最小阈值进行计算(以下简称minminMODP模型)，是为了计算在最理想救援时间内，使需求满足率最大化和救援成本最小化的物资分配方案。

计算maxmaxMODP模型时，基于分层序列法，同上MOIP模型的计算步骤，利用计算机编程得到maxmaxMODP模型的值：

obj1=33,obj2=100%,obj3=4 144.693

y11=y12=y15=y23=y24=y29=y36=y37=y38=1,z11=z21=z32=1

x11=29,x12=25,x15=24,x23=20,x24=15,x29=34,x36=19,x37=18,x38=28

计算minminMODP模型时，基于分层序列法，同上MOIP模型的计算步骤，利用计算机编程得到minminMODP模型的值：

obj1=18,obj2=100%,obj3=3 140.415

y11=y12=y15=y23=y24=y27=y36=y38=y39=1,z11=z21=z31=1

x11=26,x12=21,x15=19,x23=17,x24=12,x27=11,x36=19,x38=25,x39=31

综上，maxmaxMODP和minminMODP模型应急点所覆盖的应急需求点区域范围分别见图3和图4。

图3 maxmaxMODP模型分配方案Fig.3 Allocation scheme of maxmaxMODP model

图4 minminMODP模型分配方案Fig.4 Allocation scheme of minminMODP model

2.3 MOIP模型优化参数变化影响分析

在2.2节MOIP模型求解中，只选取应急物资和运输时间的优化水平α=1/3，β=1/2进行计算，验证了MOIP模型配置方案的合理性。为了考虑不同优化水平下MOIP模型资源配置方案的变化及其影响规律。在选取α和β时，分别以α=1/3和β=1/4(降低物资需求约束的优化水平)，α=1/2(增大运输时间约束的优化水平)和β=1/2为代表进行计算，其计算结果为：

①以α=1/3和β=1/4为优化参数的计算结果

obj1=23.01,obj2=87.62%,obj3=3 141.243

y11=y12=y23=y24=y25=y27=y36=y38=y39=1,z11=z21=z31=1

x11=26.75,x12=22,x23=17.75,x24=12.75,x25=20.25,x27=12.75,x36=16,x38=25.75,x29=31.75

②以α=1/2和β=1/2为优化参数的计算结果

obj1=25.5,obj2=96.69%,obj3=3 144.693

y11=y12=y13=y24=y25=y27=y36=y38=y39=1,z11=z21=z31=1

x11=28.4,x12=24.2,x13=20,x24=15,x25=24,

x27=18.2,x36=19,x38=27.4,x29=34

由以上不同参数计算结果可知，当保持时间约束的优化水平不变时，降低物资需求约束的优化水平，经济成本提高了0.11%，需求满意率降低了4.5%；当保持物资需求约束的优化水平不变时，增加时间约束的优化水平，此时资源配置时间容忍范围增加了10.8%，需求满足率增加了5.4%。这是因为当降低物资需求量约束水平时，在相同的时间内，决策者可能考虑以更少的经济成本为灾区配送物资，而当增大可容忍的物资运输时间范围时，应急需求点能在较长的时间内接收到更多的应急物资，从而增大了灾区应急物资的需求满意率。由此看见，MOIP模型在不同参数变化得出的结果具有较好的鲁棒性。

2.4 结果分析

一般对于确定性规划模型来讲，一旦应急点需求确定，则所有应急需求点的需求均能被应急点所覆盖，而这是不太符合实际的。因此，本节只针对区间规划和确定性规划模型中的应急资源分配方案的合理性、时效性和经济性进行比较分析。

由2.2节模型3种求解结果(分别为使用最小和最大阈值的MODP模型和MOIP模型的计算结果，以下简称minminMODP，maxmaxMODP和MOIP的计算结果)可知，maxmaxMODP模型较MOIP模型而言，其时效性和经济性分别降低了约44%和3.15%，而minminMODP模型较MOIP模型而言，其时效性和经济性仅分别提高了28%和0.14%。且从2.3节对MOIP模型参数变动下的计算结果可知，在需求和运输时间不确定的情况下，变化应急物资和运输时间的优化水平α和β的值，MOIP模型的计算结果均更偏向于理想的物资分配方案。而且，在实际的工程背景下，决策者更倾向于选择离灾区距离更近，所用服务时间更短，经济效益更高的应急点为应急需求点提供应急服务。

3 结论

1)本文提出了1个同时考虑经济效率，时间效率和需求满意率3个目标的多目标区间优化模型。在该模型中，使用了区间值表征应急物资需求和运输时间的不确定性。在计算多目标区间规划模型时，引入区间理论并基于分层序列法将区间规划模型转化为标准的多目标规划模型。此外，与大多数仅考虑单一应急点向多个需求点服务的传统资源配置模型相比，本文提出的区间规划模型允许多个应急点同时向多个应急需求点提供服务，且不同的应急点处建立的应急设施具有不同的应急能力。

2)为了验证所提出的区间规划模型的有效性，本文将其与确定性规划模型相比，并对区间规划模型中的参数进行变动求解。结果表明，区间规划模型的资源分配方案更加符合理想情况下的物资分配方案，为参数不确定条件下的应急资源的优化配置提供了指导。

3)值得注意的是，本文提出的区间规划方法并非旨在取代确定性规划方法，而是作为当参数不确定时确定性规划模型方法的补充。另外，本文对区间规划模型的讨论是面向化工园区整体应急资源配置下进行的，但这种区间规划方法可以扩展到其他资源分配应用方面，如垃圾处理中心和车辆配送中心的选址问题。且每种建模方法都有不同的目标函数侧重点，不同的目标函数在不同的条件下可以用来更好地管理应急资源配置系统。