“三研·三磨”六部曲——以《图形中的规律》校本研修为例

江益珍

《图形中的规律》属于“数形结合”课程，关键在于让学生经历直观操作和探索发现的过程，体验发现规律的方法，发展学生的数学思维能力，符合五年级学生的思维从具体向抽象过渡的特点。虽然这节课前后知识关联不大，又是经典的探究规律的课，有较多的研究资料，但我们在讨论后，最终仍确定其为本次“三研·三磨”研修的课题。

一、“一研”——探究教材

第一组：研读教材和教参，把握教学重难点，精准分析教材。

《图形中的规律》一课安排了两个活动：一是摆三角形中发现规律，二是通过点阵中的规律体会图形与数的联系；两个活动放入一节课中难度过高，因此分解为两课时。我们选择了“摆三角形中发现规律”开展研讨，研究了以下几个问题。

1.为什么研究？

右下图“研究摆三角形的规律”，视角不同，发现的规律也不同：2n+1、3+2（n-1）和3n-（n-1）。挖掘教材隐性知识点，为五下研究立体图形的摆放规律打下坚实的基础，进而达到融会贯通的目的。

2.教材编排的结构中，只有一个例子，如何展开教学？

教材中从“用小棒摆三角形，笑笑摆出右边图形”导入，接着是三个问题串：像笑笑这样摆10个三角形需要多少根小棒？从上表中，你发现了什么？笑笑接着摆下去，一共用了37根小棒，你知道她摆了多少个三角形吗？教材是静态呈现，而教学过程是师生的动态演绎，教学时必须把静态的思想进行动态转换。

（1）导入（预设两种方式）。

导入方式一直接出示图让学生观察，在观察中感知小棒根数与三角形个数有什么联系方法：观察方式二每人7根小棒，最多能摆出几个三角形？会产生两种不同的结果：一是摆2个多一根，二是借助公共边摆3个方法：摆一摆。在摆的过程中产生认知冲突，初步体会到探究规律的必要性

（2）展开。在直观操作探索中发现规律，以淘气说的话“我发现每多摆1个三角形就增加2根小棒”和笑笑说的话“我发现摆2个三角形需要的小棒比6少1”作为总结。在有效的活动中，学生积极参与，通过操作、观察、计算、推理、归纳和思考，最后得出结论。

（3）运用。出示逆向题：“笑笑接着摆下去，一共用了37根小棒，你知道她摆了多少个三角形吗？”如果学生能灵活运用规律，说明他们真正理解和掌握了规律的本质。

3.教材编排中，只是一个点，需要哪些补充？

本节课借助小棒摆三角形研究规律，感受数形结合的魅力，材料相对来说单薄了一些，我们需要补充四项内容。

补充一：以“用7根小棒，你最多能摆几个三角形”引入，预设“摆2个多1根和借助公共边摆3个”两种情况，把复杂的规律借助摆一摆来呈现，直观易理解。

补充二：用小棒摆正方形，摆50个需要多少根小棒？用小棒摆正六边形、正八边形，你能找到其中的规律吗？这几种复杂图形的构造和规律是相同的，学生能够类比迁移，把研究摆三角形的方法运用到研究摆正方形中去，既巩固了方法，又提高了对数和形的认识，开阔了视野。

补充三：将教材中的“37根小棒”改为“17根小棒”，并引申到“18根小棒可以拼出连接的三角形吗？为什么？”逆向题需要学生运用所学知识，合理推理后才能解答，且教材中答案唯一，拓展到18根后方便学生观察，明确根数必须要奇数，培养学生的数感。

补充四：1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人，3张呢？5张呢？

如果像这样坐70人，要摆（ ）张桌子？

学生体会到形与数的不可分割后，从而感受到数形结合的美妙。

研读教材不是为了增加知识的难度，而是在吃透编者的编排意图，精准把握教材的内涵之外，寻找适当增量，弥补教材不足，引导学生运用已有知识经验，掌握知识实质。

第二组：文献检索。

线下：从期刊中找出相关文章，对比分析后，对其中可参考的内容进行重点研读，画重点、做摘记。

线上：从知网等文献库中搜寻材料，检索相关资源，发现了与本课相关的信息109条，筛选下载了具有参考价值的部分文献进行深度研读和分析，其中市教研员裴云姣老师和柯城区杨梅老师撰写的《从积累数学活动经验出发构建模型思想——以“图形中的规律”教学为例》一文，极具参考价值，为接下来的研修指明了方向。

研读教材时，我们的困惑有以下两个：

一是“探究小棒根数与三角形个数之间的关系”是否一定要用字母表示；二是本课学习方法的探索和研究是否一定要归结到“2n+1”。研读相关文献资料后，发现这两个问题已经有人进行过详细的分析。首先，根据学情以及以往经验来看，学生是能够用字母来进行表示的；其次，小学生没有“多项式化简计算”的基础，于是摒弃了“一定要用函数表达式”的想法。由此，教师的两个困惑迎刃而解。

二、“二研”——初步设计

基于研读教材和相关资料的反馈，我们进行了“二研”——初步设计。

1.确定教学目标、教学重难点（见下表）。

教学目标教学重难点学生评价1.通过摆三角形的直观操作，探究三角形的个数与小棒根数之间的关系。2.通过类比、迁移探究连接正方形的规律，体会数与图形的联系。3.在“拼”和“摆”的活动中，积累探索规律及解决问题的经验，培养学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力。重点：经历探索摆三角形发现规律的过程，探究三角形的个数与小棒根数之间的关系。难点：从不同角度探究图形的规律。关注点：学生是否喜欢参与教学活动、能否主动参与；对学生在合作学习中的情况进行评价；评价运用知识解决问题的能力；对学生“情感态度的评价”。

2.形成教学设计。

（1）每位教师先进行独立备课，各自撰写一篇教学设计。

（2）集体备课，形成一篇较为完善的教学设计。

对各自撰写的教学设计进行展示和分析，提炼出各篇教学设计的特点、优点。重点分析主备教师的教学设计，按照重难点、导入、过程探究、小组合作、作业分层、板书设计六大板块，分组进行研讨，以期突破各个关键环节，提升教学设计的质量。研讨后，各小组按照各个板块提出相应的意见和建议，汇总后从中吸取有价值的修改意见，融入最初的教学设计中，最终形成一篇较为完善的教学设计稿。

三、“一磨”——课堂展示

我们的校本活动不贪多求全，本学期重点关注“教学目标达成情况”和“学生评价”两方面，对本课的实效性做好详尽的记录。

教师分工：一组关注“教学目标达成情况”；另一组关注“学生评价”。

四、“三研”——评课反思

在市教研员裴老师的引领下，全体数学教师对这次试教暴露的各种问题进行了深层次的剖析，对教学设计进行了大刀阔斧的修改，围绕“怎么想？怎么画？怎么摆？怎么算？”再一次反思怎么引课。

怎么设计问题？怎么引导学生思考？怎么突破难点？怎么体现分层教学？

比如，教师在课堂中如若发现学生在探讨时不理解无从下手，应立即喊停，及时介入，帮助学生解决困难。如本课试教时学生对于连接三角形的摆法理解有困难，教师要引导他们理解公共边，进行图形的分解。教学中应随学生而动，做到“以生为本”。比如关于三个式子要不要沟通等问题，研究后决定针对程度差的班级设计讲解拼法，针对程度较好的班级建立三种方法之间的联系，统一到2n+1，提升练习的层次。

五、“二磨”——二次研判

教学过裎是师生的互动过程，通过前测了解学生需要什么、缺少什么，分析学生的学情，让教师的教与学生的学落到实处。为此，我们在第二次试教前进行了前测。

前测题：

第一题：①摆1个三角形需要（ ）根小棒；②摆3个三角形需要（ ）根小棒；③摆100个三角形需要（ ）根小棒。（从正向思维角度了解学生对连接三角形特征的理解，考察学生对小棒根数与独立摆三角形个数之间关系的理解。我们预设大部分学生只会从独立摆三角形的解决策略出发思考问题，不会考虑到在摆三角形时可以借助公共边）

第二题：摆一摆，画一画，用7根小棒最多能摆几个三角形？（以逆向思维的思考方式设计，目的在于考察学生能否突破以往的思维定式，思考借助公共边摆三角形的思维方法，为突破本课摆三角形的难点找到着手点）

主备教师对五年级68名学生统一进行了前测，测试结果如下：

第一题：①准确率为100%。②准确率81.25%：“需要9根小棒”的占84.8%，“需要7根小棒”的占15.2%（询问了解，发现部分学生是受第二题“7根小棒最多能摆几个三角形”的干扰，将9改成7，可见这些学生没有真正理解公共边的意义），说明这一题是有瑕疵的，需要后续做调整更改。③准确率为62.50%：“需要300根小棒”的占80%，“需要201根小棒”的占20%，说明有些学生是真正理解借用公共边的摆法的，但这其中也有26.15%的学生，受第二题“7根小棒最多能摆几个三角形”的干扰，纯粹靠蒙。由此可知，真正掌握连接三角形特点的学生是少之又少的，再加上100个三角形计算起来数字较大，能得出201根小棒这一答案的同学更是凤毛麟角，这也为我们本节课的研究做了一个非常好的摸底。

第二题：准确率仅为37.50%，其中答错的人都认为是2个三角形，说明大部分学生未理解公共边，这也与第一题测试结果相吻合。

通过以上分析我们认为，在教学中必须渗透公共边的认识。此外，作为最真实的情况反馈，可将部分较为典型的前测结果作为本课的教学导入，从学生本体出发，回到学生本质，有助于学生理解并产生质疑，激发对本课的学习兴趣，这才是真正的生本课堂。

六、“三磨”——三次研判

在第一次使用前测单时，由于考虑不周，学生受干扰较大，我们把前测单中的第一题调整为“摆1个三角形要（）根小棒，摆4个三角形要（）根小棒，摆10个三角形要（）根小棒”，然后对五年级另外70名学生进行前测,前后两次前测数据作对比（主要分析“摆4个三角形需要多少根小棒”）。

与首次“摆3个三角形需要多少根小棒”相比，这一次更改数据为“4个三角形”后，学生在回答时不会受到第二题的干扰，能够检测出真正的认知水平。从反馈数据来看，发现只出现两种答案，一是“12根小棒”的占81.25%，二是“9根小棒”的占18.75%，这个比例与第一次前测题中的“摆100个三角形需要多少根小棒”的数据结果基本是吻合的，这也说明只有五分之一的学生对借用公共边摆三角形有一定的认识。因此我们也就清楚地认识到，借用公共边摆三角形对于学生来说有一定的难度，因此教师要适当介入。

经过以上研修过程，最后我们形成了基于学生学情的、比较切合我校实际的教学流程。同时主备教师个人的教材分析、学情掌控、课堂教学能力有了质的提升，所有参与活动的教师也都不断突破自我，素质得到提高。

今后，我们将更加努力充实“三研·三磨”的内涵和细节，更加关注“目标达成”“关注学生”“教师的课堂语言”和“提升练习层次”四个方面，在充分了解有效学情的基础上达到减负高效的目的，实现“让老师教得轻松，让学生学得快乐，让学习效果显著”的“分享式”教学目标。