基于核心素养的中考二次函数试题命题分析

2019-10-30迟立祥

中国数学教育（初中版） 2019年10期

迟立祥

（东北师范大学附属中学初中部）

函数是刻画两个相互依赖的变量之间关系和变化规律的模型，是初中数学一个重要的基本概念，标志由常量运算关系向变量运算关系的跨越.二次函数是初中函数知识模块的重中之重，具有更多的形式、更复杂的图象特征、更广泛的应用领域.综观近几年全国各地区中考试题，对二次函数知识的考查均比较全面、科学、系统.主要体现在以下两个方面：一方面，注重对二次函数的基本性质、基本思想和方法的考查；另一方面，注重对二次函数工具性的考查，加强了对二次函数解决实际问题的考查，加强了对二次函数综合运用的考查.同时，以二次函数为载体，也突出体现了对数学核心素养的考查，具体涉及到空间观念、几何直观、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识.

一、命题形式与考查核心素养分析

1.由二次函数图象获取信息，考查推理能力

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理能力是学生需具备的数学核心素养之一.近几年来，中考试题中关于推理的考查范围越来越广泛，考查形式也越来越丰富，不仅在几何问题中考查推理能力，在函数问题中同样有对推理能力的要求.对于函数，每个函数模型的系数都与该函数的图象的某些特征相关联，这种关联是学生应该重点掌握的.在中考试题中，有时单独考查一种函数模型的系数与图象的关系，有时将两种函数模型结合起来考查.

例1（2018年山东·滨州卷）如图1，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B(-1，0)，则：

图1

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a-b+c＜0；

③b2-4ac＜0；

④当y＞0时，-1＜x＜3.

其中正确的个数是（）.

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

答案：B.

例2（2018年山东·青岛卷）已知一次函数的图象如图2所示，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）.

图2

答案：A.

【评析】以上两道题以二次函数解析式中各项系数与函数图象特征之间的关联为载体，考查了学生的推理能力，很好地渗透了对数形结合思想的考查.例1注重检测学生对二次函数知识的理解程度与推理能力，考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点等图象特征与函数解析式中系数的关系，是对函数图象与性质的全面考查.例2将一次函数与二次函数的图象与系数关系结合起来考查，先通过一次函数的图象判断出相应系数的取值范围，再通过系数的范围确定二次函数的图象特征，其思维模式是“函数图象—系数范围—函数图象”，反复经历图形信息、数量关系之间的转换，所考查的知识面更广，对学生思维的层次和推理能力的要求更高.

2.由几何直观考查二次函数与方程（组）、不等式的简单联系

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）将几何直观解释为：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.可以理解为，几何直观是借助于见到的或想到的图形的形象关系产生对数量关系的直观感知.对于二次函数，借助函数图象探寻函数性质、借助抛物线与坐标轴或其他函数图象之间的关系预测、寻找方程（组）、不等式的解或解集，就是对学生的几何直观能力的考查.

图3

例3（2018年湖南·衡阳卷）如图3，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标(1，n)与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b＜0；②；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（）.

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

答案：D.

例4（2018年贵州·贵阳卷）已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图4），当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）.

图4

答案：D.

【评析】例3和例4这两道题均借助二次函数图象与x轴的位置关系考查函数与方程（组）、不等式的联系.例3的命题③是将二次函数的最值用不等式表示出来，命题④考查二次函数图象与一元二次方程根的情况的关联.例4中先将二次函数图象通过翻折得到新的函数图象，然后借助直线与新函数图象的位置关系确定m的取值范围，在考查数形结合思想的同时也蕴含着对图形变换的考查，涉及的思想方法更加广泛，方式更加灵活.

3.借助二次函数解决实际问题，考查模型思想和应用意识

模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，也是解决现实问题的重要工具.现实生活中的许多问题都可以转化为数学模型，并用数学方法解决，这也是中考试题中考查学生模型思想和应用意识的基本方式.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用这一模型解决问题的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题—运用数学符号建立函数模型—运用函数知识求解—将结果应用于实际问题.在数学建模过程中，积累数学思维经验和解决问题的经验，是提高学生数学核心素养的重要方式之一.让学生经历这一过程或过程中的某些环节，可以反映出学生的模型思想和数学应用意识的水平.

例5（2018年福建A卷）如图5，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.

图5

（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值.

答案：（1）AD的长为10米；

（2）当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250平方米；

当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为平方米.

例6（2018年浙江·衢州卷）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池（如图6），喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图7所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.

图6

图7

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，试探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.

（2）王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；

【评析】例5和例6都是从实际问题出发，通过建立二次函数模型，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及模型思想和应用意识.例5先建立矩形菜园ABCD的面积S与利用旧墙AD的长x之间的二次函数模型，再运用函数的性质确定面积S的最大值，在考查模型思想和应用意识的同时也考查了分类讨论.例6第（1）小题中确立了喷水高度与水平距离的二次函数模型，在第（2）小题中运用函数与方程的联系将实际问题转化为一元二次方程问题，在第（3）小题中运用二次函数图象与系数的关系确定了新的函数解析式，进而解决问题.例6在考查模型思想的同时还加入了函数与方程思想，以及二次函数性质的考查.另外，例6对学生的运算能力也有较高的要求.

4.二次函数与几何图形结合，考查空间观念和几何直观

《标准》指出：空间观念主要是指……想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化.二次函数与几何图形相结合就是将数量关系与空间形式相结合，通过函数描述图形的运动和变化，通过确定数量关系进而确定几何位置关系，从而考查学生的空间观念、几何直观、运算能力等多种核心素养.此类题目中蕴涵着丰富的数学思想和方法，综合性强，区分度大，一般作为压轴题出现在中考试卷中.

例7（2018年江苏·扬州卷）如图8（1），四边形OABC是矩形，点A的坐标为A(3，0)，点C的坐标为C(0，6)，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.

（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为_____；

（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；

（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图8（2）所示，问该抛物线上是否存在点D，使.若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，说明理由.

图8

答案：（1）线段PQ的中点坐标为；

（2）当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是；

（3）存在.满足条件的点D的坐标为或.

例8（2018年广东·深圳卷）已知顶点为A的抛物线经过点，点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图9（1），直线AB与x轴相交于点M，与y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；

（3）如图9（2），点Q是折线A—B—C上一点，过点Q作QN∥Oy，过点E作EN∥Ox，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，试直接写出点Q的坐标.

图9

【评析】近年来，中考试卷中考查综合运用二次函数知识的试题，更加注重考查数学思想和数学核心素养等综合能力.例7和例8均是以二次函数与几何图形相结合的形式呈现，以考查学生综合运用已学知识解决问题的能力.例7以矩形为背景，通过点的运动构成变化的三角形和抛物线，再以相似三角形的判定和性质为工具，结合二次函数的解析式，将求特殊点的坐标问题转化为一元二次方程求解问题.例8以给定二次函数为背景，通过抛物线上的定点与折线上的动点构成变化的几何图形，用变量表示动点的坐标，再结合几何知识解决问题.这类题目主要考查学生在解题过程中的想象能力，并考查在想象的基础上分析和解决问题的能力，涉及到几何直观、空间观念、运算能力等多种核心素养.

5.以二次函数的变形为背景，考查应用意识和创新意识

数学创新意识是在建立一定的数学知识体系和数学方法体系以后所形成的一种数学发现意识或动机，是在一定数学环境下对思维方式或解决问题方法的变革.在教学过程中，数学创新意识主要体现在两个方面：一方面，强调在掌握基础知识和基本方法后，针对解决问题的过程和方法进行创新；另一方面，强调在数学活动中发现问题、提出问题的意识.经过初中的学习，学生已经掌握了二次函数的图象与性质，以及相关的数学方法，以此为基础，通过对二次函数图象的变形可以得到新的与原二次函数相类似的函数，再运用新的函数背景考查学生的创新意识和应用意识.

例9（2017年湖南·郴州卷）设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{-1，-1}=-1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题.

（1） m ax{5，2}=____，max{0，3}=____；

（2）若 m ax{3x+1，-x+1}=-x+1，求x的取值范围；

（3）求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=x2-2x-4的图象如图10所示，试在图中作出函数y=-x+2的图象，并根据图象直接写出max{-x+2，x2-2x-4}的最小值.

答案：（1）5，3；

图10

（2）x≤0；

（3）当x=3时，m ax{-x+2，x2-2x-4}有最小值-1.

例10（2017年吉林·长春卷）定义：对于给定的两个函数，任意取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等.我们称这样的两个函数互为相关函数.例如，一次函数y=x-1，它的相关函数为

（1）已知点A()-5，8在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上，求a的值.

②当 -3≤x≤3时，求函数的相关函数的最大值和最小值.

（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，连接MN.直接写出线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围.

答案：（1）a=1.

（2）①m的值为.

②当 -3≤x≤3时，函数的相关函数的最大值为，最小值为.

（3）n的取值范围是 -3＜n≤ -1或.

【评析】随着对学生数学核心素养要求的提高，中考试题考查的方式越来越新颖.本组题目通过设置新定义的问题背景，考查学生的创新意识、应用意识和符号意识.例9通过对新定义的符号与函数图象相结合，考查学生对新符号的理解与对新函数图象的应用.例10通过函数图象的翻折变换在原函数的基础上定义了新的函数，这是与原函数具有类似性质的函数.例10考查了学生对新定义函数的理解，以及运用原函数的知识和方法解决新函数问题的能力.本组题目的共同特征是，试题在考查知识迁移的同时关注了方法迁移，让学生经历了学习、探索、问题解决的整个过程.此类题目是考查创新意识和应用意识的重要载体，对于改进并提高中考试题的科学性和有效性，深化课程改革具有积极作用.

二、基本结论与命题趋势展望

我们可以看出，近两年全国各地区中考试卷中，以二次函数为载体，对数学核心素养进行了多方面、多角度的考査.这样既有利于促进学生数学核心素养的全面提升，又有利于发挥中考对数学教学正确的导向作用.核心素养是一个指向未来的发展概念，“发展”应是核心素养的生命力之所在.数学核心素养的考查意义在于促进对学生数学核心素养的培养.因此，未来中考数学命题的趋势应是更加注重学生的发展性.对于二次函数这一知识模块，未来命题应将数学问题的解决过程和数学基本能力有机整合，依据结果能清晰解释学生的数学思维和认知过程.具体体现在以下两个方面.