一道教材习题的推广和变式研究

周 斌

（浙江省岱山县初级中学）

2018年4月，笔者参加了浙江省舟山市教育学院初中学科考试评价高级研讨班，这次培训的主要任务是学习最新命题理论和技术，研讨《义务教育数学课程标准（2011年版）》和教材试题研究，最后的作业是学员研制模拟试题.笔者的作业中，以教材中的一道反比例函数习题为题源，进行设计问题，并对其做了一些推广，得到培训教师和专家的好评.现谈谈编题的思考和推广过程，以抛砖引玉，请教于同行.

一、问题缘起

浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第6章“目标与评定”中有这样一道题目：如图1，点A在反比例函数的图象上，AM⊥Ox于点M，若△AMO的面积为3，则k的值为_____.

图1

图2

进一步思考：同一坐标系下，推广到两个反比例函数应该也具有类似性质，即有以下推广.

图3

二、问题设计

基于以上思考，在图3基本图形的基础上，运用特殊化思想，选取k1=1，k2=2，结合三角形和四边形等知识，形成函数与几何的综合题，再进一步研究几何图形的位置和数量关系.

题目如图4，在平面直角坐标系中，已知反比例函数，A是图象上任意一点，过点A分别作x轴和y轴的垂线交于点M，N，交于点C，B，连接OA交BC于点D，当点A运动时，回答下列问题.

图4

①四边形OBAC的面积为______；的值为_____；

②当△ABC是等腰直角三角形时，点A坐标为________.

意图解析：第①问第一个填空目的是考查反比例函数系数k的几何意义，推广到两个反比例函数图象上，这个问题是设问的基础，四边形OBAC的面积转化为矩形ONAM减去△ONB和△OCM的面积，且始终为1，此问面向有一定基础的学生.

第2个设问在这个图形中进一步研究线段的关系，考查学生的数形结合思想和对基本图形的构造能力.设，则.则AC=CM.同理，可得AB=BN.如图5，延长BC交x轴于点E，易证△ABC≌△MEC.所以AB=ME，BC=EC.所以.

图5

第②问的设置由动点A的位置变化影响△ABC的形状，探索当△ABC为特殊三角形时，求点A的坐标.因为∠BAC为直角，故只需当AB=AC时，△ABC是等腰直角三角形，即.解得.所以点A的坐标为.

以上问题贯穿函数、三角形相似、坐标、方程等核心知识.在能力要求上，运用相似三角形，坐标法表示相关线段的长度，渗透数形结合、分类讨论、方程、函数思想，考查核心知识和技能，整体上自然和谐.

三、变式推广

以上从反比例函数图象上一点向x轴和y轴作垂线构成的矩形面积不变性出发，推广到两个反比例函数应该也具有类似的性质.下面我们继续从一般化考虑，给出以下变式推广.

四、反思

在这次培训中，浙江省嘉兴市教研员时爱荣老师对试题编制的素材来源做了深刻的讲解，其中一点“从教材中选取素材编题”，笔者深有感触.教材是教师授课的依据，是学生获得知识的主要来源.因此，根据教材内容，将教材中的例题、习题“乔装打扮”来叙述，是创作新题的重要方式之一.此题通过对教材习题的推广、拓展和延伸，通过联想，增加几何图形，改变设问方式，从运动的观点看问题，编制出题目.中考很多试题来源于教材.因此，教师在平时的教学中应重视对教材的开发，积极发挥教材的示范作用.

好的问题具有生长功能，教师可以对教材习题做更深入的研究，进而揭示题目的本质.例如，在变式3中，笔者曾设想：把点P的位置特殊化，四边形ABCD的形状怎么变化？无独有偶，这个想法与2018年浙江省金华卷、丽水卷中考试卷第23题的模型不谋而合.因此，笔者想说的是，对于一个问题，只要有心深入思考，总会有意想不到的收获，研题永远在路上，需要的是教师勤奋的态度和持之以恒的决心.