立足数学课堂，发展数学思维，提升数学素养——“漫谈勾股定理”教学设计

赵军才

（山西省平定县东关初级中学校）

在由陕甘晋三省教育学会联合举办的“2018‘丝路之秋’当代名师大讲堂——全国著名教育专家与陕甘晋名师智慧课堂教学研讨培训活动”中，笔者应邀于10月21日在西安做课一节——“漫谈勾股定理”.本节内容在学生已经学习了勾股定理知识的基础上，从勾股定理的发展历程、研究方法、典型证明、实践意义等方面入手，引领学生感受数学的博大精深，体会图形的研究思路.课后，经专家的点评与指导，对本节教学设计做了进一步完善与梳理，现予以分享.

一、挖掘教育价值，确立教学方向

勾股定理被誉为“千古第一定理”，其文化价值主要体现在：它源于实践，发现得比较远古，体现了劳动人民的聪明与智慧，在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造方面有某种里程碑意义.赵爽弦图对勾股定理的证明，采用截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，为中国古代以形证数、数形统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.不仅如此，千百年来人们对它的证明趋之若骛，数百种的证明方法中，思路各异，精彩纷呈，激发了广大数学爱好者的极大兴趣，为几何的研究与发展起到了积极作用.

在数学发展方面，勾股定理的发现导致了无理数的产生，推动了数域的发展；勾股定理是中国几何学的根源，中华数学的精髓.例如，开方术、割圆术、方程术、天元术等技艺的产生与发展，寻根探源都与勾股定理有密切关系.我国古代对勾股定理的研究立足于对由此可以解决的一类实际问题算法的深入研究，发明了一种由互相垂直的勾尺和股尺构成的测量工具，推出勾股术算法，建立了勾股测量的理论基础.

勾股定理的学习，可以解决直角三角形中知其两边求第三边的问题，其逆定理可以通过三角形三边的数量关系判定直角三角形，均为后续图形的有关计算和三角函数的学习奠定了基础.

基于上述对勾股定理的理解，结合学生的学习状况，笔者认为学习勾股定理的意义已远超对定理本身的理解和应用，而更应该关注勾股定理背后的文化价值和数学特色.因此，确定本节教学内容是以复习勾股定理及具体应用为载体，引导学生了解勾股定理的背景文化和形成发展过程.

二、梳理教学方向，定位教学目标

一节数学课的教学意义在哪里？能给学生留下什么？这是课前教师必须要思考的，也是最基本和最重要的问题，想清楚了这个问题，也就知道了这节课要做些什么，教学目标也就随之而明确.

（1）落实基础知识，构建知识框架.基础知识是数学文化、思想和方法的载体.教学中，在复习勾股定理相关知识的基础上，帮助学生形成较为完善的知识框架，这样学生才会有通透的感觉，才能真正感知勾股定理的本质特征，提高学习的积极性.

（2）在勾股定理的拓展教学中，提升学生发现与提出、分析与解决问题的能力.通过设置有效数学情境，引发数学思考，引导学生发现数学问题，帮助其积累必要的数学活动经验，增强数学的创新意识和实践能力.

（3）了解勾股定理的文化背景，感受勾股定理的魅力和中华民族的智慧，激发学生的爱国情怀，感知数学的曲折与伟大，回归理性思考，培养学科精神，提升数学素养，养成严谨的治学态度.

三、诊断教学问题，明晰重、难点

勾股定理知识内容的理解和定理的应用相对比较简单.对于勾股定理证明思路的理解，则需要学生具备一定的直观想象能力、逻辑推理能力和图形的识别能力.另外，学生对几何图形的研究思路和一般套路的接触相对较少，数学学习的整体观和系统性较差.基于此，确定本节内容的难点是：理解几何图形的研究思路，发展数学思维，培养数学直观和逻辑推理能力.

从勾股定理的文化背景来说，勾股定理的学习有助于培养学生的数学情怀.因此，确定教学重点为：以勾股定理的发展为主线，渗透勾股定理的教育价值；以几何图形的研究思路为背景，发展学习能力，落实立德树人的教育任务.

四、打造精品环节，提升数学素养

教师引问：关于勾股定理，你已经知道了哪些内容？你还想知道些什么？

【设计意图】基于学生的学习水平，梳理旧知，引发思考，拓展数学思维.

1.何以是勾股定理——是什么？

问题引导：对于勾股定理，我们学习了哪些内容？你能用思维导图或知识框架的形式予以阐述吗？

【设计意图】复习所学知识，构建知识结构.

教学实践：教学中，采用问答复习的方式逐一进行引导复习，利用PPT演示（如图1）理解知识内涵，帮助学生形成勾股定理的知识结构，提升应用意识，有助于后续对勾股定理的拓展研究.从教学效果来看，学生能理解基础知识并会具体应用，但对勾股定理文化背景的认识尚不足，需进一步引领.

图1

2.何以源勾股定理——怎么来的？

问题引导：你知道勾股定理是如何产生的吗？

【设计意图】引领学生感受勾股定理在发生、发展中的曲折经历和无限魅力，感知勾股定理与生产实践的关系，体会数学源于生活、高于生活、服务于生活的理念，增强数学学习的积极性.

教学实践：本环节以微课视频的形式，图片展示的方式讲述勾股定理的文化背景与发展历史，达到预期效果.当然，短短的几分钟微视频不可能还原勾股定理的发展过程，但至少可以引发学生对勾股定理的思考，激发他们的研究兴趣，同时也有助于培养学生探究知识来龙去脉的意识.从教学效果来看，确实如此，学生对勾股定理的来源有比较大的兴趣，有探究的需求和欲望.

3.何以由勾股定理——什么道理？

千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若骛，有著名的数学家、数学爱好者、普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统.有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，其中有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名.

问题引导：下面研究几种比较著名的证明方法，并思考两个问题：（1）证明思路是什么？（2）证法中“美”或“妙”在何处？

（1）赵爽勾股圆方图证明法.

我国古代三国时期的赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其方法可涵盖所有直角三角形，具有普适意义.“赵爽弦图”是以弦为边长构造的大正方形，同时将大正方形内部分割为以弦为斜边的四个全等的直角三角形，中间围成一个小正方形（如图2），于是有，化简即得a2+b2=c2.

图2

【设计意图】“赵爽弦图”以图形面积为切入点，利用图形部分与整体的关系，巧妙证明勾股定理；其直观、简洁、优美以及数形结合的特点，为东方特色勾股定理无字证明方法，在图形结论的推导与证明中有积极的引导作用.

（2）达芬奇证法.

达芬奇证法是利用图形的等积变形原理，重组图形内部结构，实现勾股定理的证明.图3（1）中六边形的面积被分成四部分，分别为两个全等的直角三角形和一大一小两个正方形，其面积可以表示为a2+b2+2×；翻折合并后图形（如图3（3））仍为六边形，形状发生了改变，内部结构也发生了变化，由三部分组成，其中两个直角三角形仅是位置发生变化，于是整体面积可表示为，变换前后图形面积相等，即可验证勾股定理.

图3

【设计意图】一是要引导学生体会图形等积变形原理；二是要理解变换前后六边形和六边形之间、三角形和三角形之间、正方形和正方形之间的关系，发现关系，并寻找关系成立的道理，培养学生的几何直观、合情推理和逻辑推理能力.

（3）欧几里得的证法.

欧几里得是古希腊数学家，他被誉为“几何之父”，所著的《几何原本》闻名于世，是世界上最早公理化的教学著作，影响着历代科学文化的发展和科技人才的培养.欧几里得证法的绝妙之处是：过直角三角形直角顶点且垂直于斜边的直线，分大正方形成两个矩形，它们的面积恰好分别等于以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积（如图4）.于是采用分而证之的办法，通过三角形全等实现勾股定理的证明.

图4

【设计意图】欧几里得的证明思路，有助于强化发现图形运动变化中不变的规律的意识，有助于引导学生养成数学思考的习惯，在数学思考中善于发现和提出问题、分析和解决问题，提升问题研究的积极性，有助于学生空间想象能力的培养.

教学实践：本环节呈现了三种巧妙的证明思路，一方面，帮助学生理解各种证明过程，提高推理能力；另一方面，引领学生感受思路设计的美妙之处，拓宽学生的数学视野，培养直观想象能力，学习用数学的思维方式分析和研究问题，有助于提升数学素养.教学过程中，实施“自主—合作—展示”的教学流程，学生在独立思考中发现问题解决的方向，在合作探究中明晰问题解决的思路，在展示交流中表达问题解决的策略，在倾听反思中感受数学学习的顿悟与愉悦，引发数学思考，体会数学之美，以达到预期效果.

4.何以用勾股定理——怎么用？

问题1：在Rt△ABC中，a，b，c分别为三边长，若，c=4，则b的值为___；

问题2：如图5，将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm、高8 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的高度为hcm，则h的取值范围是（ ）.

（A）h≤17 cm （B）h≥8 cm

（C）15 cm≤h≤16 cm （D）7cm≤h≤16cm

图5

问题3：如图6，要在湖的两岸A，B之间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B之间的距离.你有办法测量吗？试设计一种测量方案，并说明理由或依据.（填写下表即可.）

__项 目__课_______________题__测量工具__测量步骤测量示意图_理由或依____________________________________________据内 容测量湖的两岸A，B之间的距离_______images/BZ_21_743_2459_916_2733.pngA B___________________________________________________________________________________图6

【设计意图】问题1属基础知识，体现定理的直接运用；问题2侧重于对几何直观能力的考查；问题3属方案设计问题，试题具有开放性，渗透了PISA理念，考查学生综合运用所学知识分析并解决实际问题的能力及创新意识，渗透了数学模型思想，体现了立德树人的育人理念.

教学实践：从问题1和问题2来看，学生具有基本的问题解决能力；对于问题3，基于学生目前的知识水平，有的设计三角形全等方案，有的设计直角三角形并利用勾股定理解决问题，体现了试题的开放性；从整体解决效果来看，有效提升学生综合实践能力仍将是今后教学的重要方向.

5.何以悟勾股定理——想到什么？

问题引导：一方面，从图形面积的角度来看，式子a2+b2=c2反映了分别以直角三角形三边为边长的三个正方形面积之间的关系，如果将正方形换作其他图形，结论a2+b2=c2还会成立吗？如图7，如果换成等边三角形、正六边形、等腰直角三角形、半圆形，你有怎样的发现？

图7

另一方面，从三角形类型的角度来看，直角三角形三边之间满足勾股定理，如图8，锐角三角形三边的平方有怎样的关系呢？钝角三角形呢？

图8

【设计意图】拓宽学生的数学视野，使学生学会多角度分析问题，感悟数学抽象、归纳、类比等数学方法，增强数学探究意识，培养数学理性思维.

教学实践：本环节作为课堂学习的延伸，提出问题，引发思考，为学生对勾股定理进行深入研究提供方向.

教学反思：数学学习中，我们一直关注于对特殊情况和一般规律的研究，几何的学习也不例外.直角三角形是特殊的三角形，对其基本几何元素的学习，包括三个角之间、三条边之间，以及边与角之间的关系，勾股定理表达的就是直角三角形三边之间的数量关系.基于学生已有的学习水平，可能对勾股定理的内容及应用已经有所了解和掌握，于是通过问题“关于勾股定理，你已经知道了什么？还想知道什么？”，引导学生从勾股定理的知识层面予以拓展，关注勾股定理的产生与发展，关注数学思考，并理解深入研究数学概念“五何”主线：何以是（是什么？）—何以源（怎么来的？）—何以由（什么道理？）—何以用（有什么用？）—何以悟（想到什么？），这样的教学思路，一方面，为学生提供了有效的学习途径和方法，促进学生的自主研究、有效学习和深度学习；另一方面，在问题的研究中，有助于学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学模型等数学核心素养的提升.

6.课堂回顾小结

勾股定理的文化价值如下：一是培养批判质疑、勇于探究的科学精神；二是理解图形的研究思路，学习图形的研究方法；三是通过经典、巧妙的证明思路，发展理性思维，感受数学的内涵美；四是关注数学知识的实践意义，强化数学的应用意识.

“五何”研究法：何以是（是什么？）—何以源（怎么来的？）—何以由（什么道理？）—何以用（有什么用？）—何以悟（想到什么？）.

五、反思教学构思，提炼教学理念

本内容基于“理解数学、理解学生、理解技术、理解教学”，以勾股定理为抓手，以落实立德树人的根本任务，以培养学生的数学素养为指导，努力实现以下教学构想.

以勾股定理的发展历程为教学出发点，关注勾股定理的文化背景和教育价值，使学生初步理解勾股定理的现实意义和数学精髓，感受数学的博大精深，激发数学学习积极性.

由“学会”到“会学”，培养学生的数学学习力.首先，通过勾股定理的研究与学习，初步理解几何图形的研究维度：横向要研究图形的几何元素、图形的相互关系、图形的特殊规律，纵向要关注“何以是—何以源—何以由—何以用—何以悟”这几个层面；其次，知道数学结论的得出需要经历观察、发现、猜想、分析、验证、证明等过程，体会数学的严谨性，学会探究数学命题的方法；再次，要感知抽象、归纳、类比、推理等主要的数学思维方式.

合理运用信息技术手段，如导学方案、PPT和几何画板软件动态演示、微课等，为学生数学学习提供有效的实践背景，优化数学学习方式；同时任务驱动、问题引领，引发数学思考，提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象等数学素养，让学习真实发生.