中英高考数学试题比较研究

华南师范大学数学科学学院(510631) 谢晓川 方浩颖 陈 楠 骆超容 马振迪

一、引言

英国A-level 课程被国际教育界誉为“金牌”教育课程和全球大学入学的“金牌”标准,因此其考试试题对国际数学教育有着重要的意义.而中国高考由教育部统一组织调度,是全世界规模最大的“统一性考试”,意义深远.通过比较分析中英两国高考数学试题,能对比出两国对学生数学能力要求的偏重,为中国高考数学试题的命制和改革提供参考,与国际接轨.

英国A-level 数学考试分为Part Ⅰ和Part ⅠⅠ两大部分,每部分各有两份试卷.由于大部分的英国学生会选择CⅠE 考试局组织的考试,所以选择CⅠE 发布的2018年A-level 数学试题和中华人民共和国教育部考试中心发布的2018年中国数学理科全国Ⅰ卷为研究对象,其中A-level 数学试题包含纯粹数学1(P1)、纯粹数学3(P3)、概率数学1(S1)、概率数学2(S2)这4 份试卷[1-2].

二、综合难度模型介绍

试题的难度系数模型的研究,开始于Nohara 提交的一份报告,提出总体难度系数由探究性问题、背景、运算和推理四个因素组成[3].随后有不少学者在该理论的基础上改进和研究.其中由鲍建生教授提出的习题评价的综合难度系数模型的运用最为广泛,模型从试题的数学认知、背景、运算、推理和知识含量五个因素进行等级分析[4].

中国的试题包括了选择题,填空题和解答题,而英国的四份试卷都只有解答题.经实验发现中英两国试题题型的差异一定程度上影响了试题难度.且在基本模型中,五个难度因素对不同类型的题目影响程度也不同.因此对鲍建生的综合难度模型进行了改进,由两层模型“难度因素—综合难度”改为三层模型“难度因素—题目类型—综合难度”,使其能更加准确的比较出样本的难度.

优化后的模型可以考虑到不同的难度因素、不同的题型等影响.原模型计算公式修改为：

其中,i=1,2,3,4,5 依次表示“数学认知”、“背景”、“运算”、“推理”、“知识含量”五个难度因素,j=1,2,3,4 依次表示每个难度因素的各个等级,k=1,2,3 依次表示“选择题”、“填空题”、“解答题”三种题型,dik表示第k种题型中第i个难度因素的上的取值,dijk表示第k种题型中第i个难度因素的第j个等级的取值,nijk则表示第k种题型中属于第i个难度因素的第j个等级的题目的个数,nk表示第k种题型的总题数.

同时引入了各层因素之间的权重计算：

其中,Sk表示第k 种题型难度对综合难度的影响权重,mik表示第i个难度因素对第k种题型难度的影响权重,yik则表示第k种题型中第i个难度因素对综合难度的影响权重,Di表示整份试题在第i个难度因素的取值.Cd表示整份试题的综合难度.

为确定各层因子的权重,研究选用问卷调查的方法.在华南师范大学发放并回收了168 份有效问卷,其中低年级学生占比85.71%,数理类学生共占比80.95%,符合问卷预期.题型权重以解答题的得分为参考标准,整理调查结果的数据以后,求得选择、填空和解答三种题型的标准化权重Sk分别是0.82,0.84 和1.00.而因素权重以推理因素的得分为参考标准,因素权重表格如表1所示.

表1 因素权重表

三、试卷综合难度分析

(一)试卷具体分析

由于中国试卷中选择题、填空题和解答题的分值相差较大.为了平衡分值带来的误差,每道解答题以每个小问题为一道独立的题目评分,确保每道题目的地位大致相同[5].根据统计结果对中英高考数学试题在数学认知、背景、运算、推理、知识含量这5 个因素进行如下对比分析.

图1 各卷多因素等级对比图

从数学认知因素分析,所有试卷在“了解”的占比都很低,在“理解”的占比都最高.英国4 份试卷在“理解”等级的占比明显均为0.69 以上,而中国试卷在“理解”等级的占比只有0.53.但中国试卷在“探究”等级的占比远高于英国试卷.这体现了英国注重学生的基本认知,中国则要求学生能够更加熟练地掌握和运用知识,学生需要思考探究的内容比英国的多,试题的综合性和难度更高.

从背景因素分析,英国S1,S2 试卷“无背景”等级的占比为0.35 左右,而中国试卷和英国P1,P3 试卷“无背景”等级的占比高达0.8 至0.9.在“个人生活”这个等级上,英国S2,S1 试卷的占比最高,分别为0.69 和0.56,而中国试卷和英国P1,P3 试卷的占比则等于或低于0.1.总之,在背景因素方面,英国S1,S2 试卷注重学生对背景的理解,而中国试卷和英国P1,P3 则对背景的要求较低.

从运算因素分析,5 份试卷在“无运算”等级的占比均低于0.1.英国S1,S2 试卷在“数值运算”等级的占比为0.81,英国P1,P3 试卷和中国试卷在此等级的占比较低.在后两个等级上,英国P1,P3 试卷和中国试卷的占比之和均高于0.54,是英国S1,S2 试卷的4 倍以上.这说明,英国S1,S2 试卷的运算难度较低,而英国P1,P3 试卷和中国试卷难度较高,其中中国试卷最难,它在后两个等级的占比之和高达0.73.

中英两国试题在推理因素上存在明显的差异.中国试题“复杂推理”等级的占比要明显高于英国试题,说明中国试题更侧重于复杂推理的考查,对学生逻辑推理能力要求较高；而英国试题则侧重简单推理,其中英国S1 试卷在推理因素上对学生的要求最低,“无推理”的占比高达0.5.总之,在推理因素上,中国试卷的难度更大.

从知识含量因素分析,英国P1,S1 试卷中,有一半以上的题目考察一个知识点,而中国试卷和英国P2,S2 试卷中,有一半以上的题目考察多个知识点,其中以中国试卷最甚,考察两个及以上的知识点的题目占比为0.83.这说明中国试卷和英国P2,S2 试卷的综合性较强,注重学生综合能力的考查,而英国P1,S1 试卷的考察内容比较单一,综合性较低.

(二)试卷整体比较

根据综合难度模型中的公式,可以求得五份试卷的五个难度因素的取值Di和综合难度Cd,并整理得出各卷不同因素综合难度系数雷达图,如图2所示：

图2 各卷不同因素综合难度系数雷达图

由图2可以看出,各卷难度得分在“数学认知”等级上相差不大,大致处于“理解”水平.而在“背景”上,英国概率数学S1、S2 的难度得分明显高于其他几份试卷,说明英国在概率数学的考察中注意与现实相联系.在“运算”因素上,中国试卷与英国纯粹数学P1、P2 两份试卷的运算难度都比较大,而英国S1、S2 两份试卷的运算难度较小.通过比较“推理”因素,发现除了S1 试卷得分较低外,其他4 份试卷的难度得分基本一致,而对于知识含量,5 份试卷的得分依次递增,其中中国试卷得分最高,英国S1 试卷得分最低.

结合图表,综合以上五大因素的难度得分及其权重,可以得出结论,中国试卷的综合难度最大,得分为9.42,英国试卷P3,S2 次之,英国试卷P1,S1 的难度最低,这也体现了英国试卷命题的等级性.

四、结论与启示

(一)结论

通过对五个方面的比较发现,我国高考数学对“数学认知”要求较高,达到掌握程度的知识点占比明显高于英国,试题综合性较高,说明我国注重对学生思维能力的训练.尽管英国各卷对“背景”的要求各不相同,但总体上高于中国,对我国高考数学在“背景”因素的考虑上具有借鉴的作用.中国高考数学对“运算”、“推理”的要求明显高于英国,且每道题考察的“知识含量”也明显多于英国,对学生的筛选作用胜于英国.但英国高考数学试卷组成更为复杂,为学生的多样化发展提供了更好的条件,对我国高中数学的课程设计具有借鉴作用.

中国数学高考目前是一年一考,一考一卷,在试卷命题的时候相关学者应该更加深入考虑试卷命题的科学性,除了保证试卷的综合性,还需顾及各个难度因素之间的平衡.

(二)尝试分卷考试,深入考查学生

英国实行分卷考试,尽管是试卷的综合难度不如中国,但可以增多题量,加长时间,对学生的知识和能力的考察更加全面,值得我国借鉴.同时分卷考试的形式促使学生在高中阶段就有选择地学习专业知识,利于学生的个性发展.

我国可以尝试将高考试卷分成“数”和“形”两大部分.将函数、导数、数列等分为一部分,解析几何,立体几何等分为一部分,在考查得更加全面的同时降低试卷的综合难度,减轻学生的学习负担.同时,可以结合目前推出的“3+3”高考模式,实行分层考试,对选择物理、化学等学科的学生和选择政治、历史等学科的学生,考试试卷的难度也可以略有差距,以此适应新时期对人才的培养目标.

(三)优化综合难度模型,为综合难度模型提供新的视角

考虑了题型因素,综合难度模型在基本难度模型的基础上进一步优化,从两层模型改进至三层模型.同时,权重的确定方法选择问卷调查的方法,比以往少数几人的评分更加客观.新的综合难度模型更适用于比较研究来自不同国家的高考试题,综合多方面评分,得到更加准确的试题难度.

虽然综合难度模型研究的是数学高考试卷,但也可以用于物理等学科试卷的研究,或者是其他年级的试题研究.这使得综合难度模型有更加广阔的应用范围,可以为其他学者、老师提供一个试题难度评定的工具.