双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解
2019-10-28赵倩白喜瑞
赵倩 白喜瑞
摘要：根據简化的Hirota双线性方法和Cole-Hopf变换，当一个新的双模耦合KdV方程中的非线性参数与耗散参数取特殊值时，得到了该新的双模耦合KdV方程的多孤子解.同时，当方程中的非线性参数与耗散参数取一般值时，通过不同的函数展开法，如tanh/coth法和Jacobi椭圆函数法，可得到这个方程的其他精确解.
关键词：双模耦合KdV方程; 简化的Hirota方法; 多孤子解;周期解
中图分类号：0178
文献标志码：A
DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2019.04.005
0 引言
一般来说，大多数非线性方程都是关于时间t的一阶导数的方程，它们描述了单一方向的波.例如，KdV方程，Burgers方程等，这些模型均是沿x轴正向传播的.而关于时间t的二阶导数方程Boussinesq方程，它是沿x轴正向和负向两个方向传播的.
4 结论
在本文中，我们构造了一个新的双模耦合KdV方程，一方面，通过简化的Hirota方法和Cole-Hopf变换，对于特殊的α、β值可得到该方程的孤子解，但对于一般的α、β值，孤子解是否存在，我们还不能确定.另一方面，通过不同的函数展开法，对于一般的α、β值，我们得到了该方程的其他精确解.
[参考文献]
[1]KORSUNSKY s V Soliton solutions for a second-order KdV equation[J]Phys Lett A，1994， 185： 174-176
[2]LEE c T.LIU J L.LEE c c.et al The second-order KdV equation and its soliton-like solution[J]ModernPhysics Letters B，2009. 23：1771-1780
[3]LEE c c，LEE c T，LIU J L，et al Quasi-solitons of the two-mode Korteweg-de Vries equation[J]Eur Phys JAppl Phys， 2010，52：11301
[4]LEE c T Some notes on a two-mode Korteweg-de Vries equation[J]Phys Scr. 2010，81：065006
[5]LEE c T.LIU J L A Hamiltonian model and soliton phenomenon for a two-mode KdV equation[J]Rocky Mtith， 2011， 41：1273-1289
[6]LEE C T， LEE C C. On wave solutions of a weakly nonlinear and weakly dispersive two-mode wave system [J].Waves in Random and Complex Media， 2013， 23： 56-76.
[7] LEE C T. LEE C C. Analysis of solitonic phenomenon for a two-mode KdV equation [J]. Physics of WavePhenomena， 2014， 22： 69-80.
[8] LEE C T， LEE C C. On the study of a nonlinear higher order dispersive wave equation： Its mathematical physicalstructure and anomaly soliton phenomena [J]. Waves in Random and Complex Media， 2015， 25： 197-222.
[9]LEE C T， LEE C C. Symbolic computation on a second-order KdV equation [J]. Journal of Symbolic Computa-tion， 2016， 74： 70-95.
[10] WAZWAZ A M. Multiple soliton solutions and other exact solutions for a two-mode KdV equation [J]. MathMethods Appl Sci， 2017， 40： 2277-2283.
[11] LEE C T. LEE C C. LIU M L. Double-soliton and conservation law structures for a higher-order type ofKorteweg-de Vries equation [J] Physics Essays， 2015， 28： 633-638.
[12] ALQURAN M， JARRAH A. Jacobi elliptic function solutions for a two-mode KdV equation [J/OL]. Journal ofKing Saud University-Science， （2017-07-03） [2018-06-28l. http：//dx.doi.org/10.1016/j.jksus.2017.06.010.
[13]XIAO Z J， TIAN B. ZHEN H L， et al. Multi-soliton solutions and Backlund transformation for a two-mode KdVequation in a fluid [J]. Waves in Random and Complex Media， 2017， 27： 1-14.
[14] WAZWAZ A M. A two-mode modified KdV equation with multiple soliton solutions [Jl Appl Math Lett， 2017，70： 1-6.
[15] WAZWAZ A M. A two-mode Burgers equation of weak shock waves in a fluid： Multiple kink solutions and otherexact solutions [J]. Int J Appl Comput Math， 2017， 3： 3977-3985.
[16] WAZWAZ A M. A study on a two-wave mode Kadomtsev-Petviashvili equation： Conditions for multiple solitonsolutions to exist [J] Math Methods Appl Sci， 2017， 40： 4128-4133.
[17] JARADAT H M. SYAM M， ALQURAN M. A two-mode coupled Korteweg-de Vries： Multiple-soliton solutionsand other exact solutions [J] Nonlinear Dyn， 2017， 90： 371-377.
[18] WAZWAZ A M. Two-mode fifth-order KdV equations： Necessary conditions for multiple-soliton solutions toexist [J] Nonlinear Dyn， 2017. 87： 1685-1691.
[19]WAZWAZ A M. Two-mode Sharma-Tasso-Olver equation and two-mode fourth-order Burgers equation： Multiplekink solutions [J]. Alexandria Eng J， 2018， 57： 1971-1976.
[20] JARDAT H M. Two-mode coupled Burgers equation： Multiple-kink solutions and other exact solutions [J].Alexandria Eng J， 2018， 57： 2151-2155.
[21]SYAM M， JARADAT H M， ALQURAN M. A study on the two-mode coupled modified Korteweg-de Vries usingthe simplified bilinear and the trigonoruetric-function methods [J]. Nonlinear Dyn， 2017， 90： 1363-1371.
[22]WAZWAZ A M. Two wave mode higher-order modified KdV equations： Essential conditions for multiple solitonsolutions to exist [J]. International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow， 2017， 27： 2223-2230.
[23] HEREMAN W， NUSEIR A. Symbolic methods to construct exact solutions of nonlinear partial differentialequations [J]. Mathematics and Computers in Simulation， 1997， 43： 13-27.
[24] WAZWAZ A M. Single and multiple-soliton solutions for the （2 + 1）-dimensional KdV equation [Jl Appl MathComput， 2008， 204： 20-26.
[25] ZUO J M， ZHANG Y M. The Hirota bilinear method for the coupled Burgers equation and the high-orderBoussinesq-Burgers equation [J]. Chin Phy B， 2011， 20： 010205.
[26] WAZWAZ A M. Multiple soliton solutions for the integrable couplings of the KdV and the KP equations [J].Open Physics， 2013. 11： 291-295.
[27]WAZWAZ A M. Multiple kink solutions for two coupled integrable （2 + 1）-dimensional systems [J]. Appl MathLett， 2016， 58： 1-6.
[28] YU F J. Prolongation structure for nonlinear integrable couplings of a KdV soliton hierarchy [J]. Chin Phys B，2012， 21： 010201.
[29]MALFLIET W， HEREMAN W. The tanh method： I. Exact solutions of nonlinear evolution and wave equations[J]. Phys Scr， 1996， 54： 563-568.
[30]FAN E， HONA Y C. Generalized tanh method extended to special types of nonlinear equations [J]. Zeitschriftfur Naturforschung A， 2002， 57： 692-700.
[31]WAZWAZ A M. The tanh method for traveling wave solutions of nonlinear equations [J]. Appl Math and Comput，2004， 154： 713-723.
[32] LIU S， FU Z， LIU S， et al. Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinearwave equations [J]. Phys Lett A， 2001， 289： 69-74.
