四类易错问题的纠错

云南省玉溪第一中学 (邮编：653100)

1 易错问题

问题2 若关于x的不等式0≤x2+ax+5≤4恰有一个实数解，求实数a的值.

问题3 已知函数f(x)=log2019(x2-ax+65)的值域为R，求实数a的取值范围.

2 问题纠错

问题1解答[2]关于x的不等式

故a=0，b=4.

许多同学很难理解：

图1

图2

由上述解答，反面探究，我们可知：

(1)若关于x的不等式m0)的解集为(m，n)，则m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=n的两个不同的实根.

(2)若关于x的不等式m

图3

问题2解答因为y=x2+ax+5是开口向上的抛物线，如果此抛物线的顶点在直线y=4的下方(如图3)，则原不等式有无穷多解.

如果顶点在y=4的上方(如图3)，则原不等式无解.

当且仅当此抛物线的顶点落在直线

另解由上述分析知，关于x的不等式x2+ax+5≥0对一切x∈R恒成立，从而关于x的不等式x2+ax+5≤4恰有一个实数解，于是，关于x的一元二次方程x2+ax+5=4有两个相等实数解，所以，△=a2-4=0，解得a=±2.

由上述解答，反面探究，我们将会发现：

(1)把问题2不等式左边的“0”改为区间(-∞，4)内的任意一个确定的实数，如“1”或“2”或“3”或“3.1”，并不影响这个问题的解答思路和结果.

(2)问题1和问题2本质上是同一类题目.

由上述解答，反面探究，我们可知：

(1)若关于x的不等式m≤ax2+bx+c≤n(a>0)恰有一个实根，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=n必有两个相等实根.

(2)若关于x的不等式m≤ax2+bx+c≤n(a<0)恰有一个实根，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个相等实根.

问题3解答

在这里，关键是要理解清楚以下两个问题.

图4

第一个问题是要使函数f(x)的值域为R， 为什么应使对数的真数x2-ax+65要取尽所有正实数？因为函数h(x)=log2019x的值域为R，当且仅当对数的真数x要取尽所有正实数，如图4所示，否则，如取2≤x≤4，则h(x)的值域为[log20192，log20194].

图5

图6

由上述解答，反面探究，我们可知：

由上述问题1、问题2、问题3的解答，反面探究，我们将会看到问题1、问题2、问题3的解答思维方法都是逆向思维，从反面入手去探究解决问题的突破口.

问题4解答因为对任意的实数x1，x2，x3，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，所以2f(x)min>f(x)max.

若k-1=0，即k=1，则y=1，此时满足不等式f(x1)+f(x2)>f(x3).

许多同学很难想到：(1)若函数y=f(x)在区间D上单调，且对任意的x1，x2，x3∈D，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，则f(x)min+f(x)min>f(x)max，即2f(x)min>f(x)max.(2)若函数y=f(x)在区间D上单调，且2f(x)min>f(x)max，则对任意的x1，x2，x3∈D，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立.

3 问题关键

对于问题2这样关于“不等式m≤ax2+bx+c≤n(a>0)恰有一个实根”的问题，解题时关键是要理解：ax2+bx+c≥m恒成立，从而就可以知道问题的本质是，不等式ax2+bx+c≤n恰有一个实根，故而问题破解.

对于问题3这样关于“函数f(x)=logag(x)(a>0，且a≠1)的值域为R”的问题，解题时关键是要理解：函数g(x)的取值要取尽所有正实数，从而问题得解.

对于问题4这样关于“对任意的实数x1，x2，x3，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立”的问题，解题时关键是要理解：2f(x)min>f(x)max，从而就可以知道问题的本质是，求函数y=f(x)的最值(值域)，故而问题获解.

4 问题变式

4.1 问题1变式

4.2 问题2变式

(1)a为何值时，不等式0≤x2+ax+5≤4恰有一个实解.(a=±2)

(2)若不等式0≤x2-ax+a≤1恰有一解，求a的值.(a=2)

(3)已知不等式2≤x2+px+10≤6恰有一个解，求p的值.(p=±4)

4.3 问题3变式

(2)已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域为R，求实数a的取值范围.(0≤a≤1)

(4)若函数f(x)=log2019(x2-ax+65)的值域为非负实数，那么a的取值是.

(a=±16)

4.4 问题4变式

(2)已知函数f(x)=2x+1+a，若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f(x2)+f(x3)>f(x1)恒成立，则实数a的取值范围是.(a≥6)

(1≤a≤4)

以上四个问题变式解答从略，各题后面括号内为答案.

5 纠错反思

学生解题出现错误是很自然的现象，问题是学生为什么对同一个问题或同一类问题一而再、再而三地重复同样错误，纠错为什么这么难？对此问题，笔者认为，学生对同一个问题或同一类问题多次重复同样的错误，是教师在教学中的不足.我们常常会听到这样的责怪声：“这个问题我已经讲过多少遍了，现在还有不少学生出错.唉！没有办法了.”真的没有办法了吗？到底是谁的错？对此问题，我们应该静下心来认真地作一些反思，反思是否使学生对问题知其然、知其所以然、何由以知其所以然.知其然、知其所以然、何由以知其所以然是理解数学知识的三重境界，是数学教师专业化发展的基石，是数学教学质量的根本保证，也是衡量学生是否理解和掌握数学知识的发生、形成、发展过程的重要指标[1].

人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》的“主编寄语”中写道：数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用，以及它与其他概念的联系，就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味[4].也就是说，纠错应该是自然的、水到渠成的、合情合理的.