坚持以题促思回归数学本位
——2019年合肥市中考数学阅卷后的分析
2019-10-28安徽省合肥市第五十中学天鹅湖教育集团望岳校区邮编230031
安徽省合肥市第五十中学天鹅湖教育集团望岳校区 (邮编：230031)
随着中考阅卷工作的的圆满结束，2019年中考已经拉下帷幕，今年的安徽省中考数学试题以《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称“课标”)为基本依据，以《2019年安徽省初中学业水平考试纲要》(以下简称“考纲”)作为指导，秉承以往的命题风格，试卷坚持稳中有变，特点鲜明，体现考试的基础性、公平性，保证科学、有效，既能全面、准确地评估初中毕业生达到《课标》所规定的数学学业水平的程度，同时又为高中阶段学校选拔招生提供重要的依据．
今年合肥市共有32584名初中毕业生参加中考，下面结合我市的中考数学阅卷情况，对2019年安徽省的中考数学试卷和合肥市区学生的答题情况进行简要分析，并谈几点教学建议，供今后教学参考．
1 试卷基本情况
2019年安徽省中考数学试卷，重点考查学生数学基础知识、基本技能和一定的分析问题、解决问题的能力，能达到促进学生主动学习的目的，有利于促进我省初中数学课程改革的进一步深入．具体有以下几点：
1.1 试卷结构稳定
试卷结构保持稳定，延续往年的题型和题量，各部分比例比较恰当，一如既往的覆盖三大领域的核心内容，其中“数和代数”部分约占46.67%，“空间与图形”部分约占42.67%，“概率与统计”部分约占10.67%．对比2018年，统计与概率比例不变，数与代数部分略有降低，图形与几何部分略有提高，考查内容分布基本符合《考纲》的要求.
1.2 考点分布合理
从整张试卷来看，今年的数学中考试题注重考查基础知识、基本能力和基本思想方法，关注数学活动过程和思维空间，重视引导教学回归教材；重视对学生后继学习影响较大的知识和思维方法的考查，较好体现了《课标》倡导的理念，对于改善初中数学教学方式和学习方式有较好的导向作用，是一份质量较高的试卷．具体考点如下表：
题号分值考查知识点14有理数的大小比较24幂的运算34三视图44科学记数法54点的对称、反比例函数64众数的概念74相似三角形的性质84增长率问题94整式运算与不等式104轴对称、正方形与解直角三角形115二次根式的运算125逆命题的概念135圆周角、解直角三角形145含参数的一次与二次函数综合158解一元二次方程168平移作图、菱形概念178列方程(组)解应用题188数与式规律探究、分式运算1910圆的性质、解直角三角形2010三角形全等、平行四边形性质2112频数分布、概率计算2212待定系数法、二次函数的极值2312相似三角形综合
2 合肥市区答题情况
3.1 成绩等级分析
2019年合肥市区初中学业水平考试成绩仍然采用分数与等级共同呈现的方式，与去年对比不难发现：高分段分数降低，说明部分试题有一定的开放性、实践性和综合性，能较好的引导教师教学和学生学习，部分试题设置新颖，设问精巧，在全面考査基础知识与基本技能的同时，突出对数学素养、数学本质的理解及探究能力的考査，具有一定的创新性；低分段分数上升，也反映出今年的数学命题更加注重面向全体学生，体现基础性，问题的背景公平、合理，大部分试题均为改编和原创，没有偏题、怪题，坚持评价改革方向，问题联系现实，体现一定的时代特征．
3.2 试卷难易得当
从考查的知识点来看，本张试卷覆盖面广，难易适中，虽然与去年相比难度小幅上升，但是题目总体呈现由易到难，层次分明，做到了起点低、坡度缓、层次清，有良好的区分度，既考查学生最基本的数学知识和技能，又考查了学生的数学思维能力，兼顾了合肥市高中阶段招生选拔的需要．选择、填空、解答题三大题型内部都是由易到难，分布合理．容易题，使数学低水平层次考生也有很多得分的机会，体现了以人为本的命题理念，如选择题的第1-6题，填空题的第11、12题，解答题的第15-18题；较难题考查考生的数学思维能力、数学基本活动经验、数学思想方法和学生的数学学习潜能，为数学高水平层次考生提供了展示数学能力的机会，如选择题的第7、9、10题，填空题的第13、14题，解答题的第21、22、23题．试卷的难度系数是0.70，有较好的区分度，是一份成功的中考数学试卷．
3.3 试卷特点分析
(1)关注双基，回归教材
2019安徽省中考数学试卷涉及了初中阶段数学最重要的基本概念，重点考查了初中阶段数学的基本技能，如运算能力、数据处理能力、基本探究能力等．本张试卷紧扣《课标》要求，许多试题源于教材，题目的形式、难度与课本习题接近，部分试题由教材中的题目改编而成，有利于引导教师在教学中以课本为主．
例1 (2019安徽中考第18题)观察以下等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：____________；
(2)写出你猜想的第n个等式：______(用含n的等式表示)，并证明．
评析规律探究是每年安徽中考的必考题，从前几年的的数形规律探究到这两年的数式规律探究，对学生的难度要求有所降低，属于基本能力的考查.本题主要考查规律探究和分式运算，以一系列等式中隐藏的规律为背景，通过观察并猜想等式中隐含的规律，考查学生的合情推理能力，其中第(2)问要求学生用数学符号表示规律并用数学方法严格证明，体现数学的严谨性.
(2)注重衔接，渗透理念
近年来，不少初中生经过中考的拼搏冲刺，取得优异成绩跨入高中后，虽有很强的求知欲和十足的自信心，却出现相当一部分学生不适应高中数学学习，初高中数学成绩两极分化严重，究其原因在于初中学习过程中，未能做好初高中衔接，而一份成功的中考试卷既要引导教师教学回归教材，又要关注学生的可持续学习，做好初高中衔接工作．命题者旨在通过本张试卷命制，有意识的向初中师生传达了这一理念．
第10题图
例2 (2019安徽中考第10题)如图，在正方形ABCD中，点E,F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是
A．0 B．4 C．6 D．8
(3)联系实际，体现价值
数学来于生活，必将服务于生活．本张试题注重联系实际、贴近生活，本卷中的第6、8、17、19、21题分别以雷达测速、国内生产总值、乡村振兴、数学文化、生产监控等为背景命制试题，让学生切身感受到数学其实就是我们身边，体现数学的应用价值和教育价值，这也是安徽数学试题的特色之一．通过数学建模与应用性问题的考查，培养学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力，引导学生关注生活中的数学，关注身边的数学，培养学数学、用数学的习惯，发展学生的创断意识和能力．
例3 (2019安徽中考第17题)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
评析本题以修建高速公路为背景，关注国家民生大计，考查学生建立方程(组)模型，只要学生审清题意，找出等量关系，不难列出方程或方程组，从而解决此题；此题用算术方法也可以，相比于解方程(组)这种较为程序化的方法，算术法对学生的逻辑推理能力要求较高．
(4)关注构图，考查能力
平面几何是初中数学的一个重要组成部分，求值与证明是平面几何的重要内容，其题目的灵活性远远是代数题目所不能比拟的，许多初中生对几何题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的题，往往束手无策．而本试卷在第7、13、20、23题上对于学生通过添加辅助线构造典型图形要求较高，考查了学生综合运用数学知识的能力．
第7题图
例4 (2019安徽中考第7题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在边AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为
A．3.6 B．4
C．4.8 D．5
评析本题主要考查相似三角形的性质与判定，此题的难点在于辅助线的构造，当过点D作DH∥AC后，就可以得到△AEF∽△ADC、△AEG∽△ADH、△BDH∽△BCA，再利用比例式巧妙的推导出CD=DH，最终求得CD=4．而此题对学生的思维能力要求比较高，需构造三对三角形相似，再应用相似三角形的性质，推出线段之间的数量关系，进而求解，由于不易想到辅助线的构造，导致学生一开始便误入歧途．
(5)压轴探究，拓展思维
安徽省每年的压轴题是众人关注的焦点，今年也不例外．压轴题往往在初中主干知识的交汇处命题，涉及的知识点多，覆盖面广；条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，方法灵活，渗透了重要的思想方法，体现了较高的思维能力．学生得分低最主要的原因是学生在解题过程中不能抓住问题的本质特征去寻找合理的突破口．今年的压轴题从试题类型上分析，仍延续多点压轴的模式；从考查内容上分析，重点仍在函数和图形变换上，体现函数与方程、分类讨论等数学思想；从方法上分析，试题命制时立足初中数学的核心知识和重要方法，对学生运用数学知识和方法综合解决问题的要求较高，综合考察学生抽象概括能力、逻辑推理能力、综合实践能力．
例5 (2019安徽中考第14题)在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点．若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是__________．
评析本题考查含参数的一次函数与二次函数，一改历年来几何作为填空压轴的风格，综合考查方程、不等式与函数之间的关系，数学味十足，学生不能理解题意成为解决此题最大的障碍，其实此题本质在于“使两个函数同时存在小于0”，而若采取联立解析式求交点，计算量较大，不妨我们考虑取特殊值，分类讨论，画出图象，数形结合，使问题变得更直观．而如何找到特殊值，其实主要取决于两函数图象与x轴的交点是否重合，函数y=x-a+1与x轴的交于A(a-1，0)，函数y=x2-2ax与x轴的交于B(0，0)、C(2a,0)，当A、B重合或A、C重合或B、C重合时分别得到a=1或a=-1或a=0三个特殊值，并同时产生四个区间(a<-1、-1
第23题图
例6 (2019安徽中考第23题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．
(1)求证：△PAB∽△PBC；
(2)求证：PA=2PC；
(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h12=h2·h3．
评析相比较历年安徽中考数学，这届中考最后一题难度略低于前几届，可对学生的基本功要求仍然一点不低．此题源于安徽省2016年选择题的压轴题的一个变式，命题的背景是位于三角形内的一个巧合点——布洛卡(Brocard)点．第(1)小问考查了等腰直角三角形的性质以及等式的性质(等量代换)，要求学生注重基础知识和基本能力；第(2)、(3)两问考查了相似三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质、等积式证明的方法．尤其是第(2)小问的方法众多，典型的方法如下：
第23题图1
第23题图2
第(2)小问方法2：如图2，在线段PA上取一点D使得PD=PC(或AD=PC)，连接CD，则△CDP为等腰直角三角形，△ADC≌△CPB，得出PA=2PC.
第23题图3
第23题图4
第23题图5
第23题图6
第(2)小问方法4：如图4，将△CPB绕C顺时针旋转90°到△CP′A，过P′作P′D⊥PA于点D，则四边形CPDP′为正方形，再证△ADP′为等腰直角三角形，则PA=AD+DP=2PC.
第(2)小问方法5：如图5，过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，再证明△ACP≌△CBD，△BDP为等腰直角三角形，故PA=CD=PC+PD=2PC.
本题的方法难易层度不同，要想快速做出来，要求学生平时要训练几何证明中常见的几何模型，要求教师平时在教学中注重这方面的教学，利用一题多解和多题一解的思维发散学生思维，注重变式拓展．尤其是对于初中教师而言，要关注平面几何著名定理、历史名题等，探寻命题生长点，多阅读经典著作，关注高中数学学习常用的平面几何知识，认识数学本质，突破思维定势.
4 试卷反思建议
2019年安徽省中考数学试卷基础题的设计干脆利索，很多学生都能得到分数；中难题部分，试题设得有梯度、讲技巧，体现了从易到难、循序渐进的设计精神；压轴题，基本属于常见类型，不偏不怪．但在欣赏之余，也有几点不成熟的想法：
(1)今年的数与代数部分占46.7%，低于《考纲》要求的50%，而图形与几何部分占42.7%，高于《考纲》要求的38%，能否将一道图形与几何问题替换成数与代数问题，使整张试卷的内容分布更加合理．
(2)从与部分考生的试后交流来看，第5题的考查目标可能缺失，让小部分学生钻了空子．此题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称和反比例函数中的待定系数法，这两个知识点都是最基础的，而当学生对“关于x轴或y轴对称”产生混淆后，得出一个错误的对称点A′的坐标(-1，-3)后，也能计算出k的值，从而第一个考查点“平面直角坐标系中的轴对称”也就达不到考查目的了．
(3)从合肥市阅卷情况来看，第12题的表述稍欠严谨或有待改进，此题考查逆命题，命题者的本意是让考生写出命题的逆命题，但部分学生未能理解题意，写出的答案是“真命题”、“正命题”或“成立的”等，完全出乎阅卷教师的意料，能否将其改成“写出命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题__________．”
5 今后教学建议
中考是初中教学的重要风向标，从今年我省中考试题看，能立足学生发展需要，考查支撑学科的基本知识、基本技能、基本方法和基本思想，加强对基本运算能力、思维能力、空间观念以及运用数学知识分析和解决简单实际问题的能力的考查，通过科学地设置操作性、探究性和阅读理解性等新题型，加强对学生创新意识的考查和对数学活动、数学知识发生过程的考查．因此，在今后的数学教学中我们应该努力做到:
5.1 重视教材 夯实基础
九年级大多数时间还要上新课，知识占中考试题的三分之一以上，且大部分综合题是以这些知识点为主要内容，所以，要认真上好新课，在学习新知识的同时，要及时复习相关的知识，学会重新构建知识结构网络，还要做到及时解决疑难问题，减轻总复习的压力．中考数学具体考什么内容我们很难确定，但试题中考查的基础知识、基本技能与重要的数学思想方法等，即数学的核心内容是可以确定的，所以抓住最基础、最核心内容的复习．在数学基础知识的复习过程中，要善于将初中所学的知识进行归类，理清初中阶段数学知识网络，形成完整的知识体系．
5.2 学会反思 发展能力
在学好概念、定理等同时，要领会其中的数学思想方法，如学习统计时，不是单纯地计算平均数、方差等数据，而是更加注意与生活实际的联系，重视统计的思想方法和意义，养成解题后的反思，通过不断的积累，逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识．并且要善于对数学思想和数学方法归纳、整理和总结，它们往往蕴含在数学知识的发生、发展和应用的全过程中．
5.3 操作探究 拓展思维
重视开展开放性、探索性和操作性的数学学习活动重视实验、探索、猜想，培养学生勇于探索的精神．在数学教学中，要提供难度适宜的探索性和开放性问题，让学生自主研究，使学生经历探索思考的过程，理解代数式的意义和作用，理解数学问题是怎样提出的，数学知识是怎样形成的，从中领悟数学的精髓与本质，培养学生的探究能力．如几何教学中尽量让学生亲自实验，通过量一量、剪一剪、折一折、画一画来探索几何命题，促进知识的形成和发展．
5.4 关注实际 提高意识
纵观近几年中考试题，数学的实际应用问题已成为中考命题的热点．因此，注重数学知识在实际生活中的应用教学，要加强联系实际的应用题的教学，提高学生的应用意识和能力．引导学生关注实际生活、聚焦社会热点，让学生从数学的角度分析社会现象，解决实际问题．
5.5 规范训练 养成习惯
从七年级开始，就要加强答题规范性、严谨性和准确性的训练，让学生练就最基本的数学素养和品质．引导学生认真审题、不凭印象答题、做完题即时总结、表述规范、推理有据、计算仔细的良好习惯和科学态度;遇到难题，不因挫折、失败而畏缩，养成勇于探索、善于探索的精神品格．
5.6 因材施教 分层提高
成绩中下的学生，重在夯实基础，切忌走马观花，好高骛远，建议要策略性地鼓励这类学生，习题的难度要加以控制，以中、低档为主．主要目标是“增分”；成绩中等的学生，要有选择地做模拟卷，主攻中档题，突破综合题，同时控制解题时间，确保“既好又快”．在解综合题时可以先跟着老师走，弄清解题基本策略，主要目标是“增速”；成绩较好的学生，做题要立足一个“透”字，可通过做题巩固知识，每一题不要蜻蜓点水过一下，要会举一反三．考生要发挥主观能动性，预留充分时间思考综合题．主要目标是“增法”．
总之，最有效的教学，不是要多做题，而是立足一道题，串起一类题；最有效的教学，不是只寻求一种方法，而是立足一种方法，牵出一类通法；最有效的教学，不是只研究一个图形，而是立足图形的变化过程，研究图形的变与不变，在变中找不变，以不变应万变。
