核心素养视角下的高三复习课——一道高考题引发的思考

浙江省温州市文成县第二高级中学 潘建波

一、问题提出，定位教学

问题：若实数x,y满足4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 。

数学运算能力的培养关键是让学生在“做中学”“做中悟”。高三复习课教学过程不必像新课那样过分拘泥于一章一节，应该要适当地纵横发散，在数学知识的纵横联系和解题方法的多元选择中展开复习。在复习的过程中，应彰显学生的主体地位，培养学生数学思维的深刻性、严谨性和广阔性，以发展学生的数学核心素养。

本题是2011 年浙江高考数学理科第16 题（填空题），学生在实际的解题过程中，思路不清晰，解答不理想。事实上，本题是高中数学中常见的二元函数最值问题，这类问题思路开阔，解法丰富多样，在各地的高考及竞赛试题中屡见不鲜。可以通过不等式、三角、几何、齐次化等不同角度进行分析，以期了解二元函数最值问题的基本求解策略和方法，对此类问题的解答能够有一个清晰、完整的过程，实现以少胜多，做一题通一类复习一大片的良好效果。

二、自主探究，一题多解

1.判别式法

点评：判别式法是学生最先想到的，若把z=2x+y看成一个二元函数，消元的好处是可以把问题转化为学生所熟悉的一元二次方程来解决，整个过程自然简洁，符合学生的认知水平，但判别式法求最值时要注意取等条件，需要代入检验（若题设增加条件x＞1，最值就取不到了）。

2.基本不等式法

点评2：学生通过变形，观察已知条件的特征，符合基本不等式，该解法技巧性较强，解题过程中必须关注等号成立的条件是否满足。

3.三角代换法

点评3：学生通过解法2 的启发，将已知条件用不同的形式呈现，把目标二元函数三角化，解法自然。上述解法本质上是通过三角代换实现了从二元函数降为一元函数的目的，进而结合三角函数知识特点求得最值。

4.换元还圆法

点评4：解法4 其实是解法3 的另一种体现，三角代换也是符合圆方程特征的，解法3 倾向代数计算，而解法4 结合了直线与圆的几何特点，实现了从数到形的转化。

5.解三角形

点评5：如果说解法4 是实现了代数到几何的跨越，那么解法5就是站在几何角度把本题解释得更加透彻.上述方法让我感到学生集体力量之强大，其实作为高三的学生，已经建立起数学知识体系，看问题的角度不同，解题策略就会不同。

6.齐次化

分析6：学生提出可以尝试将2x+y平方起来，目的是为了和已知条件一样，化为二次式，然后利用“1”的代换，构造不等式来解决。

点评6：已知等式中的“1”为齐次化打下了很好的基础，齐次化的本质是利用常数和变量之间的代换，实现分子分母次数统一，从而转化成不等式或者是函数求最值。

7.配方法

分析7：由已知4x2+y2+xy=1 得4x2+y2+xy-1=0，令z=2x+y，引入参数λ，则z2=4x2+4xy+y2+λ(4x2+y2+xy-1)=0。学生试想，如果带有x2,y2,xy的三项可以配成一个完全平方式，用待定系数法求出λ，那么z的最值就解决了。

点评7：配方法是一种易于理解、便于掌握的方法，对此类二元函数求最值问题不失为一种通法，想法自然，运算机械性强，贴近学生认知水平。

通过引导学生自主探究，得出上述七种解法，事实上都是通过对题目已知条件和所求目标进行全面的分析，在不同视角下找到解题的切入点.解法1 到解法7 的教学过程，符合学生思维的层层递进，这种连续性较强的教学使学生的逻辑思维能力得到提升。

三、举一反三，提升素养

巩固练习：

①设x,y为实数，若x2+xy+y2=1，则x+y的最大值是___________。

②若x2+2xy-y2=7（x,y∈R），求x2+y2的最小值。

③已知实数x,y满足x2+y2+xy=3，则x2+y2的取值范围是________。

数学知识具有很强的逻辑性和系统性，通过上述3 个练习，实现了从一题多解到多题通解，体现了数学知识的整体性。二元函数求最值问题可以从齐次式特征、数与形特征、对称式特征入手，学生通过一题多解的分析过程锻炼了数学学习的发散思维，通过多题通解巩固了数学知识的内化。

整堂复习课注重知识的迁移，引导学生深入思考，采用教师讲授与学生自主学习相结合的模式，有利于提高学生的归纳与概括能力，充分训练了学生的逻辑推理能力和数学运算能力，真正做到了眼中有生、心中有数、以学定教，让学生经历了解题方法生成的过程，感受了数学的魅力。