Bazilevič函数的Milin系数估计
2019-10-24牛潇萌
牛潇萌
(赤峰学院数学与统计学院,内蒙古 赤峰 024000)
1 引言
设f(z)与g(z)在U={z:|z|<1}内解析,如果存在U内满足|ω(z)|≤|z|的解析函数ω(z),使得f(z)=g(ω(z)),则称f(z)从属于g(z),记作f(z)≺g(z).特别地,如果g(z)在U上是单叶的,则
的全体.显然P(C,D)⊂P(1,−1)=P,P为熟知的正实部函数类.
设S表示在单位圆盘U内单叶解析函数
构成的函数类.S∗,C和Bα分别表示通常的星象函数类,近于凸函数类和Bazilevič函数类,它们都是S的子类且S∗⊂C⊂Bα.
用G表示复平面上包含原点的区域,称G是圆对称区域,如果对每个R∈(0,∞),G∩{|z|=R}或是空集,或是整个圆周{|z|=R},或是包含z=R且关于实轴对称的圆周G∩{|z|=R}上的一段圆弧.设f∈S,若函数f(z)将U映射为圆对称区域G,则称f(z)属于圆对称函数类Y[1].设α>0,β∈R,f(z)∈S,如果存在g(z)∈S∗使
的全体组成的函数类.称Dn(λ)为Milin系数.
研究 Milin系数和相邻两系数模之差||Dn+1(λ)|−|Dn(λ)||是单叶函数论中两个重要问题.近些年来,许多作者研究了单叶函数中一些特殊函数族的Milin系数和相邻两系数模之差的估计.如文献[4-9]分别引入了一些特殊解析函数类,并讨论了其Milin系数和相邻两系数模之差的估计.首先,文献[9]给出了当时,S上|Dn(λ)|准确的阶,但当时,只获得了
文献[8]继续讨论几类特殊单叶函数类(S∗,C,Y和Bα)上Milin系数|Dn(λ)|阶的估计,得到如下结果:
定理 1.1设f(z)∈Bα,Dn(λ)由 (2)式定义,则
其中A是绝对常数,指数2λ−1是最佳的.
本文进一步对f(z)∈Bα,β(C,D)时,估计系数|Dn(λ)|的阶,推广了上述结果.