论如何在教学中渗透数学核心素养

全媛

【摘要】数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等能力。文章以“直线的倾斜角与斜率”教学为例，在引导学生寻找直线的倾斜角、运用直线斜率公式的过程中，说明如何在教学过程中渗透核心素养中直观观察、数学运算、数据分析等能力的培养。

【关键词】数学核心素养;直線;倾斜角;斜率

高中数学难度较高，不仅有对学生的要求，而且有对数学老师的要求。高中数学老师要传授给学生未来学习和发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力（简称“四能”）。在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。在高中数学教学中，教师要帮助学生提高对数学学习的兴趣，培养学好数学的信心，养成良好的学习习惯，提高自主学习的能力，培养敢质疑、勤思考、实事求是的学习精神。

下面以“直线的倾斜角与斜率”为例来说明如何在数学教学过程中渗透数学的核心素养。研究“直线的倾斜角与斜率”，首先要研究什么是解析几何。

解析几何的创立是数学历史上一次很大的进步，它将几何学与代数学结合得更加紧密，极大地促进了两者的发展，同时也使得微积分的创立变得水到渠成。解析几何的本质是将几何图形放到平面直角坐标系中，用代数学的方法和计算去研究几何图形。研究解析几何的基本思路是，先用几何眼光观察，再用代数方法解决。我们知道，组成图形最基本的元素是点，而利用平面直角坐标系，我们可以将点与有序数对一一对应，这就将“曲线的方程”与“方程的曲线”对应起来。而能够做到这点的基本要求是将图形放到平面直角坐标系中去。

所以我们在设计“直线的倾斜角与斜率”的教学时，首先应该告诉学生的是解析几何的历史背景与解析几何的本质，以及研究解析几何的基本思路。

“直线的倾斜角与斜率”属于解析几何中的第一部分内容，是最简单的。我们如果要研究解析几何，那么肯定是从最简单的几何图形——直线入手。在设计课题引入时，我们可以利用“两点确定一条直线”这条公理，提出“一个点能确定多少条直线”，进而提出问题：这些直线的倾斜程度有什么相同点吗？

得出“一个点所确定的不同直线的倾斜程度不相同（不同直线方向上的差异）”这个结论的过程就是解析几何的基本思路：用几何的眼光去观察。为了能够更好地研究这种倾斜程度不相同，我们就可以利用解析几何最基本的思想方法：以平面直角坐标系为桥梁，将直线放入到平面直角坐标系中。

将直线放入到平面直角坐标系中以后，我们会发现一条直线与坐标系中的x轴有一个交点，从而形成了四个角。为了更方便研究，我们统一规定x轴正方向与直线向上方向所形成的夹角叫作直线的倾斜角。通过观察知道：直线的倾斜程度不相同，则直线的倾斜角不相同。所以得出结论：倾斜角是直线的倾斜程度的第一种刻画，也就是几何刻画。然后教师可以让学生自己在草稿纸上亲自动手绘图，看看要想确定一条直线需要哪些东西。最后让学生自己总结得到的第一个重要结论：要确定一条直线，必须要有一点+倾斜程度（倾斜角）。

我们知道解析几何是用代数的方法去研究几何图形，那么什么是代数的方法呢？其实代数方法的根源就是运算。结合倾斜角的定义，我们知道点与倾斜角都属于几何问题，在平面直角坐标系中，点的代数表示为坐标，我们可以用坐标来进行点的相关计算。那么直线的倾斜角用代数表示又是什么呢？又如何对直线的倾斜角进行运算呢？

为了解决上面的问题，我们先引入初中学习过的坡度与坡比的概念。我们知道坡度也是坡角的正切值，如果把坡面看成一条直线，以地面为x轴，则坡角就是坡面直线的倾斜角。所以，在数学研究中，我们将倾斜角的正切值叫直线的斜率，从而很自然地导出直线的斜率的定义：。因而斜率就是直线倾斜程度的第二种刻画，也就是代数表示。这时应该特别强调角没有斜率。为了方便以后计算，我们可以列出特殊角的正切值来帮助记忆。然后提出问题：直线倾斜角越大，斜率就越大吗？这个问题可以更好地帮助我们理解直线倾斜角与斜率之间的联系。我们也可以利用正切函数的图像得出倾斜角与斜率之间的关系，将解析几何知识与三角函数知识联系得更加紧密。最后总结这一部分的要点就是，点的代数表示为有序数对，即坐标，而倾斜角的代数表示为斜率。

既然两点能确定一条直线，一点加倾斜角也能确定一条直线，而斜率又是倾斜角的一种刻画，那么两点与直线的斜率之间内在联系又是什么呢？这个问题的提出就是为了引出通过代数的运算来研究几何图形。

假如给一条直线以及直线上的两点，那么如何求出这条直线的斜率？这是本节课的重点内容之一。这个问题是解析几何中数形结合思想的体现，也是解析几何的本质之一代数运算的体现。教师可以先给出一条倾斜角为锐角的直线，直线上两个点的坐标分别为、 ，让学生小组合作讨论：如何通过画辅助线、找线段长度的方法得出用、坐标表示斜率的斜率公式。然后分别给出直线倾斜角为钝角、直角、几种情况，最后得出形式上完全相同的直线的倾斜角的公式：。可以用一句比较大众的话来解释这个公式：纵差比横差，差同序。特别提醒学生：当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在。这样就可以解释之前提出的问题了：两点确定一条直线与一点加斜率也可以确定一条直线，这两种说法之间的内在联系就是直线的斜率公式。这个思考解决问题的过程正好体现了解析几何的一种思想——数形结合思想，也就是本文提到的用几何的眼光观察，用代数的方法解决。这样的思考聚焦在“整体结构”“逻辑主线”“核心概念”的关键因素上，对提升数学素养非常有好处。

到此，我们的新课内容就研究完成了，接下来可以做一些简单的例题进行巩固。例题完成之后进行小结。1.我们用几何眼光观察不同直线的倾斜程度不相同，而直线倾斜程度不相同（直线的方向差异）可以用倾斜角进行几何刻画，也可以用斜率进行代数表示，倾斜角是将直线放入到平面直角坐标系中得出的，斜率是通过代数的方法计算出来的。2.斜率公式的推导，就是结合图形，分析直线的特点，得到图形的“不变性”，通过运算发现图形要素之间确定的关系。这个过程很好地体现了解析的本质，在此过程中，直观想象、数学运算发挥了重要作用。

数学核心素养能力不是一朝一夕能建立的，需要数学教师在长期的教育教学中不断反思，总结规律方法。总之，任重而道远，吾将不断前行。

【参考文献】

[1]章建跃.章建跃教授在第六届数学课堂教学创新高级研讨会上的发言[R].2018-11-23.

[2]洪开科.直线的倾斜角与斜率的教学设计[J].数学学习与研究（教研版），2017（01）：93.