核心素养背景下的高中数学建模教学

鲁建桥

[摘  要] 在今天的核心素养培育的背景下，数学建模依然有着重要的地位. 已经公布的高中数学学科核心素养的六个要素中，数学建模列数学抽象与逻辑推理之后，成为体现承上启下作用的关键要素之一. 在核心素养的背景下认识高中数学建模，需要坚持历史认识与现代定位. 数学建模并不是一个孤立的过程，其需要数学直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算与数据分析的参与，数学建模在整个数学学科核心素养中，确实起着牵一发而动全身的作用. 学生在建立数学模型的时候，一个重要的基础就是其中有形象的思维对象，这是数学建模的关键. 数学建模需要教师自身在知识结构与情感态度与价值观上做出积极的改变. 

[关键词] 核心素养;高中数学;建模教学

在高中数学教学中，数学建模是一个优秀传统. 大概在三十多年前，我国基础教育界曾经有一次关于学科建模的系统研究与成果总结，其中数学建模起着重要的基础作用和引导作用. 其后无论是在课程改革的过程中，还是在今天的核心素养培育的背景下，数学建模依然有着重要的地位. 已经公布的高中数学学科核心素养的六个要素中，数学建模列数学抽象与逻辑推理之后，成为体现承上启下作用的关键要素之一. 既然高中数学教育教学已经迈向核心素养时代，那我们要思考的基础性问题之一，就是在核心素养背景下如何实施有效的建模教学. 对于这个问题的思考与回答，笔者以为，既需要继承传统认识，同时也需要有一些创新的认识，只有这样才能将传统继承与现代创新较好地结合起来，以让高中数学建模在核心素养背景下依然能够呈现出强大的生命力.

核心素养背景下高中数学建模的认识

在核心素养的背景下认识高中数学建模，需要坚持历史认识与现代定位. 关于数学建模，目前公认的认识是数学建模是一项活动，而建模活动又是一项创造性的思维活动，在建模活动的过程中能有效地培养学生独立、自觉运用所学理论知识，探索解决问题的最优策略. 在构建模型、解决实际问题的数学活动中，学生的基础知识、基本技能训练得到加强，运算能力、逻辑思维能力、空间观念等能力能够得到提高，应用数学的意识能够得到逐步增强[1]. 实际上，从数学教学开始的那一天起，数学建模就已经种下了种子并开始发芽，而学生从数学学习的那一天开始，数学建模也就已经进入了他们的思维，成为他们学习数学概念、应用数学知识的重要方式.

就拿高中数学中的“平面与平面平行的判定”教学来说，传统教学中通常有这样一些基本环节的设计：一是让学生认识到生活当中存在的诸多的平面与平面平行的例子;二是让学生对这些例子进行数学抽象;三是基于数学抽象的过程形成数学表象与数学模型. 在这样的过程中，尽管数学建模的过程常常以隐性的形式存在，但是不可否認的是，数学建模的过程是存在的，这也说明数学建模是传统教学的一个基本途径.

今天我们在核心素养的背景下再来理解数学建模及其教学. 笔者以为，要将更多的存在于教师的教学思路当中且在课堂上以隐性形式存在的数学建模，变成存在于学生的学习思路当中且在课堂上以显现形式存在的数学建模. 这就意味着对于学生而言，在课堂上要学习的不仅仅是数学知识，还有数学建模这一重要的思想方法. 当然我们也知道，数学建模并不是一个孤立的过程，其需要前期数学直观想象、数学抽象的参与，需要学生在数学抽象的基础上进行逻辑推理，这样才能形成较准确的数学模型. 对于一些需要运算参与的模型（如函数模型等）形成过程而言，数学运算与数据分析也是必不可少的. 如此一理解，我们可以发现数学建模在整个数学学科核心素养中，确实起着牵一发而动全身的作用，数学学科核心素养的其他要素，可以说都是围绕着数学建模而进行的，当然数学建模反过来对数学学科核心素养的其他要素也起着促进或者引领作用. 从这个角度讲，只要数学建模教学抓好、抓实，那核心素养的落地就有了保证.

核心素养背景下高中数学建模的关键

由于传统的高中数学教学一直重视建模活动，因此在核心素养背景下研究数学建模教学，要抓住关键. 而抓住关键的过程，常常也是难点突破的过程，如果说数学核心素养培养的难点是数学建模能力的培养[2]，突破了数学建模能力的培养，也就实现了核心素养的培养，那数学建模的关键又是什么呢？对于这个问题，我们仍然可以以“平面与平面的平行判定”这个例子来进行分析. 在教学的过程中我们发现，部分学生在形成平面与平面平行的表象时会出现困难，而进一步分析之后，笔者发现这些学生在建立平面与平面平行的模型时，走了弯路：他们思维所加工的对象居然就是问题本身，数个学生都说无法根据“平面与平面平行”的表述，清晰地想象出平面与平面平行是什么样子. 而无论是另外一部分已经顺利地建构出平面与平面平行表象的学生而言，还是笔者所预设的学生的学习过程，都是建立在学生能够从生活实例基础上抽象出平面与平面平行的认识之上的. 笔者预设的最简单的情形，也是学生能够想象两片纸（比如一本平放着书的前后两个封面）之间的关系，然后形成平面与平面平行的认识. 这样一个看似匪夷所思的情形，实际上在好多知识点的学习过程中，在相当一部分学生的身上都会出现.

由此我们也应该发现，学生在建立数学模型的时候，一个重要的基础就是其中有形象的思维对象. 尤其是在几何知识的学习中，无论是平面几何的点、线、面，还是立体几何中的线、面、体，多借助于数学实验工具，多取生活中的实例，尤其是培养学生利用实际物体建立数学认识的习惯，显得非常重要. 这可谓是数学建模的重要基础. 关于这一点，相信同行们易于理解，在此不再赘述.

需要重视的是另外一种情形，那就是高中数学中有相当一部分知识在生活中是无法寻找到原型的，比如函数，这个时候模型的建立就需要另辟蹊径. 比如在“函数的单调性”这一知识的学习过程中，我们就注意到好多学生对这一知识的理解会出现不同程度的困难，这种困难的根源就在于学生大脑当中没有一个清晰的，与函数单调性相关的基本模型. 而之所以出现这种情况，恰恰是因为数学教师常常感觉函数的单调性知识比较简单，建立函数单调性认识的时候往往就是过程短暂，学生没有足够的加工时间与空间. 针对这一不足，笔者在教学中进行了这样一些努力：

首先，给学生提供生活中的相关数据，如某地区某一天的气温随时间的变化数据，让学生去做出函数图像. 要注意的是，这里笔者不是直接提供图像，而是让学生自己去作图. 作图本身并不困难，根据数据用描点法即可，重要的是让学生经历作图这么一个过程，感受该地区的气温随时间的变化并非线性的，而是有“转折”（学生描述的用词）的. 这里所形成的认识，是下一步建立函数单调性数学模型的基础.

其次，让学生通过小组合作或者组间合作，去交流自己的发现. 如果不出意外的话，学生的发现也就会自然集中在函数图像的“转折”上. “转折意味着什么”“如果要描述一天当中气温随着时间的变化规律应当怎样描述”……当学生形成这些问题的时候，就是函数单调性模型近乎成立的时候.

再次，教师给予学生的问题，对函数图像进行分段解析，而分段之后，函数就在某个“范围”（对应着函数单调性模型中的“区间”）内，呈现出单一变化的特征（对应着函数单调性模型中的“单调增”或者“单调减”）. 而有了这样的分析，就意味着学生在大脑当中对函数的图像进行了高效的精加工. 正是这样一个精加工的过程，使得学生通过逻辑推理以及直观想象，形成了关于函数单调性的认识，也就意味着该数学模型的初步形成. 如果教师在此之后，再通过一些变式问题的提出，以促进学生在大脑当中即时形成相应的单调增或者单调減的表象，那这个数学模型也就愈加巩固了.

由此可见，对于生活中缺乏原型的数学知识而言，数学建模的过程主要依靠学生的思维（主要是逻辑推理的思维）与想象（主要是直观想象），当然也常常包括数学运算或者数据分析等. 总的来说，有了这样一个过程，数学建模也就驱动了核心素养的落地.

核心素养背景下高中数学建模的保障

在研究中我们还发现，教师自身的因素对学生数学建模的过程有着重要的影响. 其实也早有同行通过研究发现，高中数学建模活动中教师的问题有两个层面：一是知识结构层面;二是情感、态度和价值观层面[3]. 既然称之为问题，也就意味着教师在这两个层面有所不足.

也因此我们应当提醒自己：一个高中数学教师应当不断地更新自己的知识结构，尽快接受并理解核心素养以及数学学科核心素养的表述与内涵，重点思考数学建模在其中的作用. 同时应当将研究的视角转向学生，思考如何以自己积极的情感态度与价值观，以让学生的学习过程与自己的教学研究过程发生共振，只有达到这样的效果，才能在一个和谐的氛围中，完成数学建模的过程，从而为核心素养的落地提供有力的保障.

参考文献：

[1]  彭慧. 高中数学核心素养之建模能力的培养[J]. 数学教学通讯，2017（06）.

[2]  赵亮. 高中数学核心素养之“数学模型”能力培养案例探析[J]. 中学数学教学， 2018（05）.

[3]  刘卫锋，何霞，王尚志. 高中数学建模中教师问题初探[J]. 数学通报，2007，46（10）.