基于数学核心素养下的数列教学研究

秦国刚

[摘  要] 运用文献法、案例法、分析法等，基于核心素养视角，从教会学生用函数的角度看数列、教会学生用联系的观点看数列、教会学生用数列的眼光看世界三个方面，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析的能力.

[关键词] 核心素养;高中数学;数列

数列，作为高中数学的核心内容之一，一直是高考命题的热点，数列高考考什么这话题已成“老生常谈”. 当下，当我们排除应试教育的干扰，从数学核心素养角度重新审视数列教学，我们应该教会学生什么呢？我们知道，数学核心素养主要包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等六个方面 . 那么，在数列教学中，我们该如何让教学内容处处体现数学核心素养呢？笔者谈几点拙见，供同仁参考，并以斧正.

教会学生从函数的角度看数列

任何一个数学观念的产生都有它的前因后果. 数列诞生于函数，又不同于普通的函数. 教会学生从函数角度看数列，其中就包含了数学抽象、逻辑推理和数据分析等能力的培养.

例如，从普通函数图像到数列的图像的演变，离不开数学抽象，从数列的前几项归纳出数列的通项公式，离不开数据分析;用函数的观点去解决数列问题，又离不开逻辑推理. 我们不仅要教会学生“知其然”，更要教会学生“知其所以然”.

数列虽然可以看作是一类特殊的函数，但它有着自身独特的解决问题的方法，什么事情都是一分为二的，如果我们教学生一遇到数列问题，就想到函数方法，这就有失偏颇了，只抓矛盾的普遍性而忽视矛盾的特殊性，这是数列教学中极易走入的误区. 我们应该要让学生知道，数列是函数，但不可认为数列就是函数，不可将数列与函数等同起来 .

例1：已知数列{an}.

（1）若an=n2-5n+4，则①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值.

（2）若an=n2+kn+4且对于n∈N*，都有an+1>an成立，求实数k的取值范围.

分析：（1）本题虽然是数列问题，其实就是二次函数求最小值问题，与二次函数不同的就是，这里的自变量n是正整数. （2）数列是一类特殊函数，本题的通项公式可以看作相应的解析式f（n）=n2+kn+4. f（n）在N*上单调递增，但自变量不连续.从二次函数的对称轴研究单调性，我们也可以利用an+1>an恒成立，即转化为不等式恒成立问题.

本题的答案：（1）n=2或n=3时，an有最小值，其最小值为a2=a3=-2;（2）k>-3.

点评：（1）当数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集N*上的二次函数时，通常可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，从而得到实数k的取值范围，使问题圆满解决.

（2）在运用二次函数的观点解决数列问题时，一定要注意二次函数所对应的抛物线的对称轴位置.

本题是个数列问题，却用函数的思想加以解决. 同时，又体现了数列是一类特殊的函数.

教会学生用联系的观点看数列

万事万物都存在着联系，用联系的观点看问题，有助于我们更能把握数列的本质，能更好地培养学生的数学素养. 数列与函数的联系，等差数列与等比数列的联系，以及数列解题方法之间的联系，都是数列教学的好素材.

例如，在等差数列和等比数列的教学中，可不断渗透类比思想，将一次函数与等差数列作比较，将指数函数与等比数列作比较，将等比数列与等差数列作类比，通过比较与类比抽象出有关性质和解题方法.

用联系的观点分析问题与解决问题，有利于学生形成科学的世界观，从而更能把握住数列的内涵，从而不断地提高数学素养.

例2：已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）设Tn=Sn- （n∈N*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

解析：本題是等差数列与等比数列的综合性问题，如何解决问题？需通过知识与方法的“双重”联系才能解决. 知识层面上的联系，是本题与等差数列与等比数列的联系，方法层面上的联系，是数列{Tn}最值与数列单调性的联系.

第（1）题先证明数列{an}为等比数列，再求出其通项为an= ×-  =（-1）n-1· .

第（2）题利用第（1）题的结论写出Sn=1--  =1+ ，n为奇数，1- ，n为偶数，进而通过讨论Sn的单调性，来求出数列{Tn}的最大项的值为 ，最小项的值为- . 具体过程略.

点评：解答本题，处处体现了联系的观点和数学核心素养. 从原问题中抽象出等比数列模型，又与数列的单调性联系，求出数列{Tn}的最大项的最大值与最小值，而对奇偶数的分析与最值得运算，体现了数据分析和数学运算这两个最基本的数学素养.

数列是什么？数列是一列按一定次序排列的数，这是数列的本质. 研究数列，其实就是揭示数列中各项之间的内在联系和不同数列之间的内在联系. 当我们用联系的观点去审视数列问题时，思维就会被打开. 不难发现，数列求和中的错位相减法与等比数列求和公式的推导，有着“惊人相似的一幕”，而数列求和的倒序相加法，正是启发于等差数列求和公式的推导. 因此，教会学生用联系的观点看数列，切实可行，也十分有效.

教会学生用数列的眼光看世界

教会学生用数列的眼光看世界，既体现了数学核心素养中数学抽象与数学建模的要求，同时也是数列教学的落脚点，用数学知识解决实际问题，也是新课标的教学目的. 与此同时，教师也可将数列中的数学文化渗透其中，让学生感受到数列知识的博大精深与数列历史的源远流长.

例如，中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人. 共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？ ”细讀题目，可以发现，这是一个等差数列问题.

又如，《算法统宗》书中写到：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还.  ”仔细阅读题目，可以看出它是个等比数列问题.

与此同时，在数列教学中，我们要时刻关心身边的客观世界，引导学生去发现问题、分析问题，并用数列的观点与方法去解决问题.

例3：滨海市2017年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张. 为了节能减排和控制总量，从2017年开始，每年电动型汽车牌照的发放量按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

（1）记2017年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式;

（2）若从2017年算起，你能算出二十年发放的汽车牌照总量吗？

解析：（1）完成表格如下：

当1≤n≤20且n∈N*，an=10+（n-1）×（-0.5）=- + ;当n≥21且n∈N*，an=0，所以an=- + ，1≤n≤20且n∈N*，0，n≥21且n∈N*.

因为a4+b4=15.25>15，所以bn=2×  ，1≤n≤4且n∈N*，6.75，n≥5且n∈N*.

（2）a1+a2+…+a20=10×20+ ×- =105，b1+b2+b3+b4+b5+…+b20= +6.75×16=124.25.

所以从2017年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张.

点评：现实生活中数列问题的模型极为广泛，如物群的生长和消亡，人们生活的收入与支出等.解决此类问题的途径有两种：一是逐项列举前几项，寻求规律，满足某种数列;二是寻求任意前后两项间的关系式，转化为递推式问题.这些都是数列教学的好素材.

用数列的眼光看世界，也是学生研究性学习的好素材，是数列教学中值得做大做强的一篇好文章.

新的时代呼唤新的教育，新的教育呼唤核心素养. 教师应解放思想，摆脱应试教育的束缚，让核心素养观渗透到每一堂数学课中去. 或许我们会少做几个难题，或许阶段性测试会暂时落后，“十年树木百年树人”，但我们收获的是学生思维的可持续发展.