一个无理分式不等式猜想的证明①

刘春平

(扬州大学数学科学学院 225002 )

《数学通报》2016年9月问题2325[1]为：

设x,y是满足xy=1的正数，λ≥0，求证：

最近，文[2]从指数与项数人手，将问题2325进行推广得到了三个定理，其中定理3为：

设x,y>0,xy=1,m≥2,m为整数,λ≥0，有

在考虑将定理3再推广至n元时，文[2]作者“倾向于结论成立但久思不得证法”[2]，故提出了如下

下面，本文利用变量变换和Jensen不等式给出上述猜想的证明.

对f(θ)求导得

当m≥2,m为整数,λ≥ 0 时，f″(θ)>0,

故f(θ)在(-，+)上为凸函数，

根据Jensen不等式有

即

文[2]猜想得证.