数学问题解答

2019年8月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

(浙江省富阳二中 许康华 311400)

证明将n表示成p进制形式,即令

n=nkpk+nk-1pk-1+…+n1p+n0,(0≤ni

(1)

同样,可令

n=mlql+ml-1ql-1+…+m1q+m0,(0≤mi

(2)

若存在满足题意的常数a,则由(1),(2)得

(3)

所以有

(4)

因为n≥pk,n≥ql,所以k≤logpn,l≤logqn,

≤a(p-1)q(l+1)+(q-1)p(k+1)

≤a(p-1)q(logqn+1)+(q-1)p(logpn+1).

若(p-1)a-(q-1)≠0,

则任取0<ε<|(p-1)a-(q-1)|,

存在一个正整数N,当n>N时,必有

这与(4)式矛盾.

所以,此时使得(4)式成立的正整数n只有有限多个,与题意不符.

综上知,如果存在正常数a符合题意,

即n的p进制表示与它的q进制表示的数码和相等.

2497已知：如图，在线段AB中垂线上取两点C、D(不是AB中点)．直线AD与BC相交于点E，直线BD与AC相交于点F．过A作AE的垂线，过B作BC的垂线，这两条垂线相交于点X．求证：∠CXF=∠DXE．

(重庆市长寿龙溪中学 吴 波 401249)

证明因为∠XAE=∠XBE=90°，

所以X、A、E、B四点共圆．

设所共之圆为⊙O，圆心O在斜边XE上．

又CD垂直平分⊙O的弦AB，

所以圆心O也在CD上，

因此直线CD与XE的交点即是圆心O．

如图，由此可作出⊙O．

由对称性，点F也在⊙O上．

作X关于CD的对称点X＇，

连接XX＇、BX＇、DX＇．

由对称性知 ∠X＇BD=∠XAD=90°．

而∠XBE=90°，所以∠XBX＇=∠CBD．

因AB⊥CD，XB⊥BC，则∠XBA=∠BCD．

而由对称性知XX＇⊥CD，

因此XX＇//AB．则∠XBA=∠BXX＇，

所以∠BXX＇=∠BCD，

又∠X＇BD=∠XAD=90°，

所以△BDX＇∽△BCX，有∠BXC=∠BX＇D．

又由对称性知 ∠BX＇D=∠AXD，

所以∠AXD=∠BXC，

所以∠AXC=∠BXD．

又易知EF//AB，所以AF=BE，

有∠AXF=∠BXE，

由此即得 ∠CXF=∠DXE．

2498设△ABC三边长,三个旁切圆半径分别为a,b,c,ra,rb,rc,则有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

由旁切圆半径公式及正弦定理，可得

那么就有

从而就有

以上证明用到了熟知的公式

2499如图，O为△ABC内一点，AO平分∠BAC．过点A的直线MN∥BC，射线BO分别交AC,MN于点P,M,射线CO分别交AB,MN于点Q,N．求证：AB=AC的充要条件是PM=QN．

(江苏省兴化市第一中学 张 俊 225700)

证明(必要性)

因为AB=AC，AO平分∠BAC，

所以∠ABC=∠ACB，△ABO≌△ACO，

所以BO=CO,∠ABO=∠ACO，

又∠BOQ=∠COP，

所以△BOQ≌△COP，所以OP=OQ．

又由MN∥BC，BO=CO，

知∠M=∠OBC=∠OCB=∠N，

所以OM=ON．

故PM=OM-OP=ON-OQ=QN．

(充分性)

如果AB≠AC，不妨假设AB

在AC上取点D使AD=AB，

联结DO，延长AO交BC于F．

因为AO平分∠BAC，所以△ABO≌△ADO．

所以∠ODC>∠AOD=∠AOB>∠AFB>∠ACB>∠ACO，

所以CO>OD=BO，所以∠OBC>∠OCB，

又MN∥BC，

所以∠M=∠OBC>∠OCB=∠N

所以ON>OM，

所以CN=CO+ON>BO+OM=BM．

因为PM=QN，

所以BM-PM

因为∠ABO=∠ADO>∠ACO，

故可在线段OQ上找点E使∠EBO=∠ACO，

所以E,B,C,P四点共圆，

所以∠BEC=∠BPC．

所以∠EBC=∠EBO+∠OBC

>∠ACO+∠OCB=∠PCB，

因为EC,BP分别为圆周角∠EBC,∠PCB所对的弦，

所以EC>BP，又CQ>EC，

所以CQ>BP． (2)

(1)与(2)矛盾说明假设不成立，故AB=AC．

2500设n是正整数，且n≥3，证明：对正实数x1≤x2≤…≤xn，有不等式

≥x1+x2+…+xn.

(上海市七宝中学 李佳伟 201101)

事实上，由ax≤x≤y得到(1-a)(y-ax)≥0，

即a2x+y≥ax+ay，

代入得

上式对i=1,2,…,n-2求和，即得到

x1+x2+…+xn-2+

①

②

由①+②即得到原不等式成立.

2019年9月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2501设△ABC的三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,三角形的面积△，求证：

(1)

当且仅当△ABC为等边三角形时式中等号成立.

(河南质量工程职业学院 李永利 467000)

2502设AM为锐角三角形ABC的外接圆直径，N为边BC的中点，P为∠BAC的平分线AP与直线MN的交点，E，F分别为点P在两边AB和AC上的射影，证明：直线MN与EF的交点H是△ABC的垂心.

(河南辉县一中 贺基军 453600)

2503△ABC中，a,b,c分别表示三角形三边长，I为△ABC的内心，则

(浙江省永康市第六中学 吕永军 321300)

2504已知a，b，c>0，abc=1，求证：

(河南省南阳师范学院软件学院 李居之 孙文雪 473061)

2505如图，△ABC中，D,E,F分别是边BC,CA,AB上的点，且BD=mBC,CE=mCA,AF=mAB,0

求证：△ABC与△PQR的重心重合．

(湖北省公安县第一中学 杨先义 434300)