数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用

摘要：高中新课改的持续深入与发展，数形结合逐步成为提升高中数学教学质量的重要数学方法。数形结合，是一种教学方法，也是一种解题数学思维，它通过绘制图形来帮助教师和学生分析数学问题。数形结合可以使得复杂抽象的数学问题简单形象化，合理应用数形结合能够帮助学生数学思维的培养。数形结合有助于学生理解复杂的知识点，提升数学成绩，拓展数学知识面和解题思路，还能够推动高中数学的教学改革。笔者结合多年的教学经验，研究分析了数形结合在高中数学教学中的应用，旨在于提升学生的数学受教育体验。

关键词：数形结合;高中数学;解题应用

在高中数学解题中主要利用数形结合来辅助解决填空题和判断题，这类题目不需要繁杂的解题步骤，也不需要清晰明了的解题思路，仅仅通过利用数形结合就能直观找到图像和数值之间的联系，这有助于分析数量间的关系，快速且准确地得出正确答案。因此，利用数形结合的方式进行解题和教学，能够在提升数学教学质量的同时，提升学生的数学技能水平。

一、 高中数学数形结合思想的内涵

数学，即研究实际生活中物体空间形式与数量关系的科学。数学学科中对数量关系和空间形式的研究尤为丰富，前者是实际生活中物体的数量关系体现，后者是实际生活中物体空间存在形式的体现。空间形式和数量关系之间存在着紧密的逻辑联系，抽象而复杂的数量关系可以通过空间图形表现出来，更加直观形象，而空间中线、面的关系也能通过数学文字表达出来。

我国著名数学家华罗庚曾这样点评数形结合思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这表明了图形和数学表达的本质关系，它们都是数学知识的重要表现形式。数与形是相辅相成，互为补充的，在特定的数学环境下能够实现两者的相互转换，这为数学解题和教学提供了全新的思路。对于复杂的数量关系，教师可以通过绘制几何、立体图形来表达其中的点、线、面等数量关系，让学生直观地理解题目。数形结合的解题方法是一种实用的数学指导思想和数学思维，其主要特点是以形助数、以数析形、数形融合，它是抽象思维和形象思维的有效结合。简单来说，在高中数学教学中开展对学生数形结合解题能力的培养，既能够推动高中数学教学改革，又能够提升学生的数学核心素养。

二、 数形结合思想的价值

第一，数形结合思想能够提升学生由数量关系表达转变为空间形式表达的能力，提升学生的直觉思维能力。例如，学生在掌握“集合”这一部分知识后，教师可以讲解韦恩图，学生掌握韦恩图的绘制原则和技巧后，便能够利用韦恩图来解决集合中的数量关系表达，每当遇到该类题目时，学生便会绘制相应的韦恩图来帮助分析题目，有助于学生快速解决“集合类”的相关数学习题。

第二，数形结合思想能够培养学生的抽象思维能力。例如，在讲解“导数”这一节内容时，其中涉及了导数的几何意义，许多学生不是太理解导数与切线斜率的关系，教师可以绘制出一条曲线，再绘制该切点的斜率，如此学生对于“导数的几何意义便是该切点的斜率”这一相对抽象的知识点理解更为深刻。

第三，数形结合思想有助于培养学生的思维辩证能力。高中数学中涉及了复杂多变的数学图形，学生可以在这些特殊图形中找到相关的数学规律，并进行知识总结，当学生遇到更为复杂的图形时，便可以利用先前打下的基础来分析。

第四，数形结合思想有助于培养学生的创造性思维。平面几何图形、立体几何图形能够给学生直观的受教育体验，图形能够很好调动学生的注意力和积极性，激发学生的数学知识探究欲望。而几何题目的解题方法并不是唯一的，教师可以留一些时间给学生自己思考，讲解多样化的几何解题方法，以激发学生的数学想象力和培养学生的创造性思维。

三、 数形结合思想方法的应用

（一） 數形结合思想方法在集合问题中的应用

高中数学的集合问题主要为填空题或选择题，偶尔集合的知识会放在数列问题中。如果学生就按照将各个集合的答案解出来，再根据题意确定范围，最后进行合并计算，可能会导致范围重叠，出现错误答案。这样的解题方法不但费时费力，还准确率不高，因此学生可以尝试利用韦恩图来解决集合问题，这正是数形结合思想的具体应用。

例如，某高中举办教学活动，一共有100人参与活动，其中数学活动50人，生物活动10人，物理活动28人，其中20人既参加了数学活动又参加了物理活动，该次活动中有多少人没有参加数学活动也没有参加物理活动？一般的解题思路为参与数学活动没参与物理活动的有50-20=30人，参与物理没有参加数学的有28-20=8人，所有参加物理、数学活动的人有50+8=58人，其余100-58=42人没有参加物理、数学活动。这样的解题方法较为烦琐，但是利用韦恩图可以大大简化解题过程，提高解题速度。

（二） 数形结合方法在三角函数中的应用

三角函数题复杂多变，计算量多，但计算难度不大，因此学生需要用大量的精力才能完成计算。教师要注重引导学生利用数形结合思想来解决三角函数题，如利用单位圆中的三角函数线、三角函数图形来确定函数定义域，利用三角函数图像找出函数单调区间等等，这样能够减少解题时间，提升解题正确率。

四、 数形结合思想方法在函数问题中的应用

函数、导数一直是高中数学的重难点，高中数学里的二次函数知识较为复杂，可以利用列举法、解析法、图像法等来解决二次函数问题。二次函数中常见问题就是求定义域、最值、零点、单调区间等，更有些题目要求学生绘制出二次函数的图像，这足以体现数形结合思想的重要性。学生在绘制二次函数图像时需要确定二次函数的对称轴、零点分布、图像开口等信息，并将具体数值标注在图像上，这样更有助于解题分析。

五、 结束语

综上所述，作为一种高效的数学解题思想方法，数形结合能够将复杂抽象的数学问题简单化、直观化、具体化，能够有效培养学生的数学思维能力，丰富数学学科的教学体系。因此，高中数学教师在教学实践中，要采取有效的教学手段，提升学生在函数、导数、不等式、几何分析、数列等高中数学核心知识的解题能力，有意识地通过引导培养学生的数形结合思想。虽然数形结合思想十分重要，但不是任何数学题目都可以通过数形结合来解答。总之，教师要加快教学改革，创新教学模式和教学方法，提升学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]郝升.高中数学思想方法的学习[J].神州（中旬刊），2011（5）.

[2]黄佳琴.浅谈数形结合思想及其应用[J].科技信息，2010（15）.

作者简介：

揣小琳，河北省迁安市，河北省迁安市第三中学。