微积分思想在几何中的应用

赵佳

摘 要：微积分思想在几何中的应用主要分为一元函数微分学、二元函数微分学、定积分和二重积分分别在几何中的应用.一元函数微分学可以求平面曲线的切线和法线方程;二元函数微分学可以求空间曲面的切线、法平面、法线、切平面;定积分可以求平面曲线的弧长，平面图形的面积，空间立体的体积;二重积分可以求曲顶柱体的体积和平面区域的面积.

关键词：微分学 积分学 几何 應用

一、微分学在几何中的应用

微分学在几何中的应用主要包括一元函数微分学在几何中的应用和二元函数微分学在几何中的应用.本文以一元函数微分学在几何中的应用为例进行说明。

一元函数微分学主要包括导数与微分两个基本概念，下面主要介绍导数在几何中的应用.

1.导数的定义及其几何意义

定义1  设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处取得一增量（且仍在该邻域内）时，相应的函数也有增量

如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为在处的导数，记作，或|，即。[1]

导数的几何意义：函数在处的导数是曲线在点处切线的斜率.

2.一元函数微分学在几何中的应用：主要介绍利用导数几何意义求平面曲线切线和法线方程，主要分为用隐函数、用显函数和用参数方程表示平面曲线的切线与法线方程。文中以用显函数表示的平面曲线的切线与法线方程为例。

如果函数在点处可导，则曲线在点处的切线斜率为，切线方程为

如果，则法线斜率为，法线方程为

若，则法线方程为

例：求三次曲线在点处的切线方程与法线方程.[3]

解：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为函数在的导数值，即

||

由直线的点斜式方程，得所求切线方程为

即

曲线在点处的法线斜率为

法线方程为

即

结论：微积分在几何中的应用主要分为一元函数微分学、二元函数微分学、定积分、二重积分分别在几何中的应用，这些应用主要包括求平面曲线的切线方程和法线方程;求空间曲面的切线和法平面方程，法线和切平面方程;求平面曲线的弧长，平面图形的面积，空间立体的体积;求曲顶柱体的体积：求平面区域的面积等等。本文以微分学在几何中的应用中一元函数微分学为例进行剖析，当然，微积分还有其他应用，这就需要我们不断地去探索，去研究 。

参考文献

[1]李安平，王国正，董福安，高等数学[M]，西安：西安工业大学出版社，（2000）：29-80.

[2]王金金，李广民，任春丽等，高等数学[M]，北京：清华大学出版社，（2007）：51-321.