试谈高等数学教学中的类比综合法

白捍东

摘 要：在如今的大学高等数学的教学中，教学方法主要还是侧重于概念、定义的介绍、定理的证明、计算推导等。高等数学作为抽象性强，推理严密的科学，许多内容存在着丰富的类比性，如果再加以综合，便会得出更一般的结论。类比综合法即是类比得出某些结论后进行综合，归纳出更一般性的结论的方法。

关键词：教学方法；推理方法；类比综合法

数学教学中的类比是一种推理方法。当两个系统中某些元素存在着一致性或同构关系时，我们便可对两个系统进行类比，从已知系统的结论去推导另一个系统的某些相应的结论。综合也是一种推理方法，是把事物的各个部分加以分析并有机结合起来，得出新的结论。类比综合法即是类比得出某些结论后进行综合，归纳出更一般性的结论的方法。

高等数学作为抽象性强，推理严密的科学，许多内容存在着丰富的类比性，如果再加以综合，便会得出更一般的结论。因此，教师在讲授时加以引用学生的注意，補提其关键，培养学生运用这种方法解决问题的能力。下面从三个方面来探索该教学方法的应用：

一、用类比综合法引入新概念，引导学掌握新概念。

数学概念是数学对象本质的抽象，也是构成数学理论体系的基础；因此准确地理解概念的内涵，是揭示数学对象本质的前提。那如何引入新概念使学生更容易接受呢？ 类比综合法是有效的方法之一。

例如：线性代数中，为了引入向量组的极大线性组，首先回顾n为单位e（0，0，…，1，0）有如下的性质：

1.e1，e2，…，en线性相关；

2.对任意n维的向量都是由e，线性表出。

然后提出如下问题：给定向量组a1，a2，…，an中，是否有这样的类似的结构，

即是否存在一個部分组 a11，al2，…，an，满足如下的两个条件：

1.a11，a12，…，a1线性无关；

2.对任意an（i=1，2，…，s）都可以由 a1，a2，…，ar线性表出。

学生经过复习、类比和思考后，即可说明是肯定的，并称部分组al，a2，…al为已知组 a1，a2，…，an的极大无关组。

对上述过程进行综合后也可得出基础解系的定义：设u1，u2，…，us为 AX=0的解向量。

1.ul，u2，…，un，线性无关；

2.对于AX=0的任意解 u可由 u1，u2，…，un线性表出。则u1，u2，…，un，为AX=0的基础解系。

实践证明，这种类比综合法事半功倍，且容易接受。

二、运用类比结合法讲解定文和结论

高等数学中某些定义命题数据推广很多都是类比综合解出来的。这种方法可以更有效地使学生掌握认识规律。而这是高等数学素质教学目的之一。

例如：命题l：已知 λ1，λ2，…，λn为行列式 A的特征值，试问λ21，…，λ2n是否为 A2的特征值。

通过对上述结论的综合，推广命题l得命题2。

命题2：已知λ1，λ2，…，λn为矩阵 A特征值，求证：Ak的矩阵特征值为λk1，λk2，…，λkn.

证见文（1）。

由命题l到命题2，通过类比综合得出结论，水到渠成。

三、应用类比综合法寻投问题的解决方法

在高等数学的教学中，除了运用类比教学外，也应重视类比综合法的教学。

例如：求

分析：关于这种形式只有在定积分的定义中有相似的形式， ，

所以 ，

若设 ，则有下面：

这个例子我们先用类比，然后又进行了加工综合，这样不仅简化了计算，而且培养了学生的思考能力。

当然，关于数学教学的类比综合法的研究还不是很完善，但只要我们教师认真体会就能发现它的用处，勤于思考，在教学工作中不断总结、创新，就能开拓一个新的领域。

参考文献：

[1]王勇刚，高等数学课程教学的改革与实践，教育前沿.

[2]李光辉，高等数学教学改革探讨，政法成人教育学院学报.