等比数列的前n项和教学案例

李升阳

一、设计背景

1.设计思想：《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。对于这一目标本人认为，更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，9-22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势利导，培养学生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。

2.教材分析：在《数列》本章中，《等比数列的前n项和》是一节重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延，而且还为后续深入学习提供了知识基础。错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法。因此，本节具有承上启下的作用。从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力。等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神，是增强学生应用意识和数学能力的良好载体。从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必備的数学素养。

二、教学目标

依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

1.知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.

2.过程与方法：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质.

3.情感、态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨炼思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.

三、教学过程

1.创设问题情景

引例：“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多1万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考讨论一下，穷人能否向富人借钱？

[设计一个学生比较感兴趣的实际问题，吸引学生注意力，使其马上进入到研究者的角色中来！启发引导学生从数学的角度观察问题，分析问题，构建数学模型，然后解决问题。]

2.师生互动，探究问题

根据前面所学知识请同学们回答：穷人向富人借了多少钱？

学生回答： （万元）

提出问题1：穷人应向富人还多少钱？

引导学生写出穷人应向富人还的钱数：

提出问题2： 究竟等于多少呢？

有些学生回答用计算器来求。（老师肯定学生的做法，但学生发现比较难求）

提出问题3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征。（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

提出问题4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同乘以2，得到另一式：

[利用幻灯片展示]

……………（1）

若用公比2乘以上面等式的两边，得到

………………（2）.

比较（1）（2）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（2）两式有许多相同的项）

提出问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？（学生会发现： ，通过计算器求得 （万元）>465（万元），穷人吃大亏了）

[这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减。经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感到这种方法的神奇]

这时，老师向同学们介绍错位相减法，并提出问题6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什么（1）式两边要同乘以2呢？

[这个问题的设计意图：让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫]

3.类比联想，解决问题

提出问题7：

学生开展合作学习，讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板书在黑板上。

[设计意图：从特殊到一般，从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验]

4.分析比较，开拓思维

将不同的方法进行分析评价。根据学生的认识状况，可能有如下几种方法：

[利用幻灯片展示]

学生A：

（1）-（2）有

[大部分学生是上面的的推导方法，还有各别学生用了下面的方法]

学生B：

学生C：

即

。

5.归纳提炼，构建新知

提出问题8：由 得Sn=a，对不对？这里的 能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？ 为1时是什么数列？此时 ？

【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增强思维的严谨性】

提出问题9：

学生归纳出：等比数列前n项和公式：

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路]

教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景，调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者，成为发现者、创造者，让学生享受成功的喜悦！]

四、案例反思：

本案例立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明，充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则。通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。