引入电荷面密度处理平行板电容器动态问题

戎加磊

摘 要：本文将介绍运用电荷面密度快速判断电场变化的方法，避开繁琐的计算过程，进而快速求解其他物理量，为该类问题教学提供参考。

关键字：高斯定理；平行板电容器；电场强度

一、引入电荷面密度

在电磁学中，根据高斯定理：通过一个任意闭合曲面 的电通量 等于该曲面所包围的所有电量的代数和 除以 （ 为真空介电常数），与闭合曲面外的电荷无关。可以用以下公式表示[1]

对于平面均匀带电情形，利用高斯定理，可以求解出其电场强度 。现在假设一个面积为 、带电量为 的平面，如下图甲所示，为方便讨论，建立空间直角坐标系，作出高斯闭合曲面（虚线长方体），将带电平面包围，如图乙所示。

根据带电平面电场分布呈对称性且垂直于带电平面（即上图中的与 轴平行方向）[1]，为方便起见，上图乙中的高斯闭合曲面取为一个长方体，因为 轴和 轴方向没有电场，故电场仅仅穿过长方体左右两个面，面积均为 ，电场与之垂直。利用高斯定理，电通量表示为

因此，带电平面电场强度为

由上式可得，真空中带电极板的电场强度与距离无关，而是取决于电荷面密度 和 ，因此从电荷面密度和真空介电常数可以直接判断出电场强度的变化，避开繁琐计算过程，掌握这个技巧，对数学基础薄弱的学生会有很大帮助。

二、平行板电容器的极板间的电场

平行板电容器由正负两个极板组成，所带电荷量为某一极板电荷量。因此极板间的电场强度需要经过两个带电平面的电场强度矢量叠加合成，在真空中如下

所以在平行板电容器中，（真空中）电场强度为 ，电场强度可以从电荷面密度 的变化来判断。因此电容器动态问题中，电容器与电源断开或其他带电量 不变的诸类情形，从电荷面密度可直接判断电场变化，不需要从电容器基本定义式出发逐步推导。

在下列情形（真空中）中，当情形一变化到情形二时，电荷量 不变，而正对面积 减小，所以电荷面密度 增大，故电场强度增大，再由 ，判断出两极板电势差增加。

情形一变为情形三时，电荷量 和正对面积 不变，故电荷面密度 不变，电场强度不变，因 ，判断出两极板电势差增加。

若极板之间充入其他介质（非真空），电容器中极板间电场可简单归纳为 ， 为电介质的绝对介电常数，且存在关系 。

三、牛刀小试原题

（2017江苏高考）如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P点。由O点静止释放的电子恰好能运动到P点。现将C板向右平移到P′点，则由O点静止释放的电子（ A ）

解析：各个极板带电情况与以前相同，可视为带电量不变，虽然加大间距，因极板正对面积 不变，则电荷面密度 不变，则极板间电场强度不变，因此电子运动时受力情况不变，故运动到P点返回。

四、结束语

采用本文方法，对极板间电场变化情况，引入高斯定理方法较为方便。避开颇多计算过程，快速得出电场变化情况，从而得出其他物理量变化，减小了解题障碍，不易出错，不耗时，即可解决该类型问题，是行之有效的方法。在今后該类问题教学中，可以引入该方法，降低学生学习困难，对培养学生自信心和提升学习兴趣有较大帮助。

参考文献：

【1】褚祝文. 巧用电荷面密度（σ）对平行板电容器动态分析[J]. 中学物理，2012，30（11）：23-24.