例谈极坐标与参数方程巧解方法

阎芳

摘 要：《极坐标与参数方程》在高考题中属选考的重要内容，大部分学校都选做这部分内容，此部分内容与圆锥曲线有很多交集，是对解析几何的完善。

关键词：极坐标方程 参数方程 普通方程 几何意义

极坐标与参数方程在高考文科数学中属中档答题，是解析几何、平面向量、三角函数等内容的综合应用，它体现了代数与几何的完美对应关系。本文参照近几年高考文科数学中的高頻题型，例谈三种巧解方法。

坐标系与参数方程在高考题中一般设计两个小问。

一、第（1）问：极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化。

将极坐标化为直角坐标可以把不熟悉的问题转化为常用形式，二者的互化前提是：①极点与原点重合②极轴与X轴正方向重合③取相同的单位长度。④ ， ，ρ2=x2+y2.

参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用方法有：代入消参法、加减消参法、恒等式消参法。化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，一般地常选用的参数有角、有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标（纵坐标）。

二、第（2）问：距离、面积、最值、斜率、坐标、代数式的值等。

（一）巧用参数方程表示曲线上的点。

在最新的2019全国I卷以及2017全国I卷都出现了曲线上的点到直线距离的最值问题.，通常采用参数方程来表示曲线上的点，将问题转化为三角函数的最值问题.结合辅助角公式及点到直线距离公式求解，注意角度的取值范围。

（2019全国I卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 .

（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值.

（1）由 得： ，又

整理可得 的直角坐标方程为：

又 ， 的直角坐标方程为：

（2）设 上点的坐标为：

则 上的点到直线 的距离

当 时， 取最小值，则

（二）巧用参数方程中t的几何意义

参数t的几何意义的运用，从直线的参数方程（标准形式）入手，保留参数t进行运算，使用此方法，需要掌握以下结论：

1、过点P ，倾斜角为 的直线的标准参数方程为

（t为参数），常见方程 （t为参数）

若 ，则该方程为标准参数方程；

若 ，化为标准参数方程 （t为参数）

2、过点P的直线与曲线相交，交点为A，B，对应的参数分别为t1，t2.

（1）弦长|AB|=

（2）弦AB的中点?t1+t2=0；（3）|PA||PB|=|t1t2|.

例、设直线 经过点 ，倾斜角 . （1）写出直线 的参数方程；

（2）设直线 与圆 相交于两点A，B.求P到A、B距离的和与积.

解：（Ⅰ）依题意得 ：直线 的参数方程为 ①

（Ⅱ）由①代入圆的方程 得

由 的几何意义 ，因为点P在圆内，这个方程必有两个实根，

所以

（三）巧用极坐标方程求解

一般地，都是将极坐标方程转化成熟悉的直角坐标形式再求解，但在某些题中用极坐标方程进行解答会使问题更简单。

（2016全国Ⅱ卷）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为

（1）以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求C的极坐标方程。

（2）直线 的参数方程是 （t为参数）， 与C交于A，B两点，

|AB|= ，求 的斜率。

解析：（I）由 可得 的极坐标方程

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为

由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得

于是

由 得 ，所以 的斜率为 或 .

坐标系是解析几何的基础，是联系几何和代数的桥梁，坐标系的思想是现代数学最重要的思想之一，在不同的坐标系中同一几何图形可以有不同的表示形式，这使解决问题的方法有了更多的选择