一类分数阶q型差分边值问题中的混合单调方法

韩伟 孟晓宇 桑彦彬

摘 要：为了研究一类非线性分数阶q型差分方程边值问题非平凡解的存在唯一性。首先，在一个新的集合上定义一个新概念，再利用正规锥的定义，建立了2个混合单调算子唯一不动点的存在性，获得了线性分数阶q型边值问题的Green函数，并且对Green函数的上下界进行了估计，由此可得到特解的表达形式。其次，运用抽象定理，讨论了符合定理条件的非线性项，建立了上述问题的唯一解的存在性，并获得逼近唯一解的迭代序列，进而证明了分数阶q型差分方程边值问题非平凡解的存在唯一性。最后，通过列举一个例子来说明主要定理和结果的有效性。研究结果表明，定理条件得证且方程组边值问题非平凡解满足存在唯一性。研究方法在理论证明和边值问题方面都得到了良好的结果，对探究其他边值问题具有一定的借鉴意义。

关键词：非线性偏微分方程;分数阶q型差分方程;混合单调算子;存在唯一性;非平凡解

中图分类号：O175.25 文献标志码：A

文章编号：1008-1542（2019）04-0307-10

分数阶微分方程一直是人们关注的热点问题，其研究成果不断涌现。近几年，由于分数阶q型差分方程边值问题在许多不同的专业场合中具有广泛的应用，具备了重要的应用价值，如文献[1—6]及其参考文献。分数阶q型差分方程边值问题已被证明是非常有前途的研究与应用领域。AGARWAL[1]提出了分数阶q型微积分，相关的研究包括分数阶q型差分微积分理论的推广、分数阶q型差分方程边值问题的耦合系统[3，7-18]。例如，AHMAD等[7]研究出用不动点理论解出具有分离边界条件的q积分差分方程解的存在性和唯一性。此外，MIAO等[17]利用偏序集中的不动点定理，得到了带p拉普拉斯算子的分数阶q型差分方程边值问题正解的唯一性。FERREIRA[12]利用锥上的不动点理论，研究了非线性分数阶q型差分方程边值问题正解的存在性：

4 结 論

本文研究了一类非线性分数q阶型差分方程边值问题，在正规锥中建立2个混合单调算子不动点的存在性，获得了Green函数中特解的结构和上下界的估计，运用抽象定理构造迭代序列和抽象和算子，在前人的基础上建立了其解的存在性定理，通过验证定理所满足的条件得出具有混合单调性的二元方程组的非平凡解并证出唯一性，最后举出一个例子说明主要结果。结果表明，定理条件得证且方程组边值问题非平凡解满足存在唯一性。研究方法在理论证明和边值问题方面都得到了良好的结果，对探究其他边值问题具有一定的借鉴意义。

参考文献/References：

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