基于带通滤波的轨道不平顺敏感波长计权评价方法

杨翠平， 从建力， 王 源， 王 平， 徐金辉

(1.西南交通大学 高速铁路线路工程教育部重点实验室，成都 610031； 2.华东交通大学 铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心，南昌 330013)

轨道不平顺是引起机车车辆与轨道结构产生振动(的主要激励源[1]，对列车运行的安全、平稳、舒适性以及轨道结构的使用寿命有着重要影响。轨道不平顺过大会引起车辆剧烈振动，甚至影响行车安全。因此研究合理的轨道状态评估方法，对科学评价轨道质量状态具有十分重要的意义。

目前，对轨道平顺状态的评估主要通过幅值和频率域开展，前者未考虑轨道不平顺波长等影响因素，后者缺乏定位功能，在实际的养护维修中很难得到具体的应用[2-3]。因此，为了科学地管理轨道平顺状态，轨道不平顺的幅值、波长和里程三方面信息缺一不可。许多学者基于车辆-轨道耦合动力学理论对敏感波长做出了探索性研究，文献[4-6]探讨轨道几何不平顺敏感波长问题，研究了不同因素对敏感波长分布特征的影响规律，并提出相应的敏感波长取值范围；文献[7] 采用拉依达准则、轨道不平顺变化率法、EMD(Empirical Mode Decomposition)高通滤波法和灰色关联度法对检测数据偏差进行处理,并给出每种方法适用范围。文献[8]基于小波理论实现敏感波长加权，但小波分解仅能以倍频方式计权，计权曲线分辨率过低；文献[9]通过经验模态分解，得到对应波长频段的不平顺IMF的能量，利用能量系数求得考虑波长因素的TQEI，但由于EMD分解与重构过程效率低，并且存在端点效应产生误差，极大地限值了该方法的应用。

本文在综合现有研究成果的基础上，利用文献[10]中数字滤波器精度高、稳定灵活等优点，提出一种基于带通滤波的轨道不平顺敏感波长计权评价的方法，即F-TWQI(Track Weighed Quality Index)，对目前主要计权方法的缺陷进行优化。利用数字滤波器实现不平顺不同频程范围波形的有效分离，避免了EMD分解的端点效应，并极大提升了频率计权过程的计算效率和计算精度，利用1/3倍频程的频带划分方法，克服了小波分解计权过程中分辨率过低的问题。本文通过理论与实测验证了新的优化方法在轨道质量管理方面的实用性。

1 基于轨道动力学高低不平顺权重曲线的确定

轨道不平顺是随里程变化的随机过程，其波长分布很广，在众多波长成分中，只有某些波长成分的轨道不平顺对车辆运行品质的影响较大，将能够引起车辆-轨道系统产生较大振动的波长成分称为敏感波长。本文以高低不平顺为例，根据车辆-轨道耦合动力学理论，采用频率分析方法计算轨道高低不平顺与车辆-轨道耦合系统之间的传递函数，根据车辆-轨道耦合系统的振动传递特性分析轨道高低不平顺的敏感波长分布特征，为轨道高低不平顺的波长权重曲线提供依据。计算中取车速为250 km/h，分析波长范围取为0.05～200 m,则对应的频率范围为0.35～1 736.11 Hz；轨道不平顺的波长大于1 m时采用德国低干扰谱，波长小于1 m时采用短波谱，车辆采用CRH2。

1.1 车辆-轨道耦合系统的频域算法

车辆-轨道耦合振动也可分为车辆振动子系统和轨道振动子系统，并通过轮轨相互作用关系进行连接。本文车辆系统模型、轨道系统模型及计算参数均源自文献[11]。以频率分析法为基础，计算空间耦合系统的频率响应。

(1) 车辆系统振动方程为

(1)

(2) 轨道运动方程为

(2)

(3) 耦合系统的运动方程为

(3)

式中：{K}为耦合系统的刚度矩阵；{Kf}为激励转换矩阵；{IR}为输入的激励。

若系统激励为eiωt，则系统响应为H(ω)eiωt，H(ω)为系统的频响函数，构造高低不平顺虚拟激励

(4)

1.2 轨道高低不平顺权重曲线的确定

基于“1.1”节中的车辆-轨道耦合系统随机振动分析模型，计算耦合系统的频率响应，分析轨道不平顺与耦合系统振动响应之间的幅频特性曲线以及轨道不平顺敏感波长的分布特征，得到高低不平顺的权重曲线。计算高低不平顺权重曲线是将车辆运行的平稳舒适性指标、车辆运行的安全性指标(轮轨力)、轮轨结构的动力学指标(钢轨振动加速度)三类动力学指标权重系数按不同的重要度程度进行组合，得到多种组合工况，最终综合考虑各因素，引入在文献[11]研究基础上所提出的高低不平顺权重曲线，后文的权重系数根据此权重曲线确定，本文不对权重系数求解过程做详细说明。图1为轨道高低不平顺权重曲线，其中为表示方便，权重曲线的横坐标以不平顺波长单位m的倒数，即空间频率1/m为单位。

2 轨道加权质量指数计算模型

轨道加权质量指数(TWQI)的计算方法是根据确定的权重系数对轨道不平顺进行加权，由加权轨道不平顺评价轨道的平顺状态。参照我国现行规范的轨道质量指数(Track Quality Index,TQI)，本文仍以200 m作为轨道单元区段长度，单项加权轨道不平顺的标准差作为轨道加权质量指数(TWQI)的单项指标，设计两种不同算法进行计权，将根据EMD分解所得计算结果称为E-TWQI，基于带通滤波计算结果称为F-TWQI。

图1 轨道高低不平顺权重曲线

2.1 基于经验模态分解计算E-TWQI

采用经验模态分解(EMD)将轨道不平顺信号分解为频率从高到低排列的多个本征模态函数(Intrinsic Mode Function,IMF)和一个残余信号，再根据IMF的瞬时频率引入波长权重系数，重构出引入波长权重的轨道不平顺，最后求出E-TWQI。具体流程如图2所示。

图2 E-TWQI计算流程图

信号分解结果由下式表示

(5)

式中:x(t)为原始信号，imfi(t)为本征模态函数，rn(t)为残余信号。

经三次样条插值运算，可得到IMF的频率曲线f(t),根据IMF的频率曲线和轨道不平顺的波长权重曲线，对加权后的IMF进行重构可得到加权轨道不平顺。此文不对EMD分解过程详细阐述，具体算法过程引自文献[11]，设轨道不平顺的序列为{x(n)},加权重构后轨道不平顺的序列为{ωx(n)}，则E-TWQI的计算公式如下

(6)

(7)

式中:σi为单项指数;即各单项加权轨道不平顺的标准差,本文称为E-TWQI；Wxi为单元区段中各加权轨道不平顺采样点的平均值；n为单元区段中采用点的个数。

2.2 基于带通滤波计算F-TWQI

将轨道不平顺波长频域范围按1/3倍频程划分为N个频带，并设计相应的时域滤波器，通过数字滤波得到各个频带的轨道不平顺波形分量，求得标准差再根据中心频率赋予对应波长赋予权重系数，在研究不关注分解过程中的不平顺幅值时，采用对标准差赋权的方法只需根据中心频率赋权即可，可以显著提升本算法的计算速率且节约计算空间，最后通过求和计算得到F-TWQI。具体流程如图3所示。

图3 F-TWQI计算流程图

设第i个(i=1,2,…,N)1/3倍频程轨道不平顺的序列为{x(n)},不平顺波长权重系数为ω(k)，各频带轨道不平顺加权标准差为ωΔi，则F-TWQI计算公式如下

(8)

(9)

(10)

3 数字滤波器的构造及应用

数字滤波器与传统模拟滤波器在实现方式上存在很大差异，传统的模拟滤波器主要是硬件实现，而数字滤波器可以通过软件即编程实现。按照数字滤波器的脉冲响应时频域特性将滤波器分为两种[12]：有限脉冲响应滤波器FIR(Finite Impulse Response)和无限脉冲响应滤波器IIR(Infinite Impulse Response)。FIR滤波器与IIR滤波器相比[13]：前者具有稳定好、精度高、易于计算机辅助设计等优点；IIR 数字滤波器具有结构简单、效率高、与模拟滤波器有对应关系、易于解析控制及计算机辅助设计等优点; IIR滤波器其传递函数包括零点和极点两组可调因素，对极点的唯一限制是在单位圆内，因此可选择较低的设计阶次获得较高的选择性，所用的存储单元少，计算量小从而经济效率高。

本文旨在更加精确快速地获得不同1/3倍频范围的不平顺幅频特性曲线，求得标准差并赋权，由于本文划分的1/3频带都是小范围，所以要求所设计滤波器的有良好的衰减特性，观察同等指标条件小范围频带下IIR滤波器和FIR滤波器二者的幅频特性曲线，前者在截止频率附近的衰减特性更加满足要求，而FIR滤波器若要改善吉布斯现象，需要选择更高的滤波阶数。为了保证此方法的准确性和效率优势，由非线性滤波器造成的信号延时对每200 m区段最终的评价指标的影响可以忽略不计，综合考虑本文的主要目的，切比雪夫Ⅱ型滤波器在阻带中具有等波纹响应，为了获取更好的滤波速度及滤波精度，因此最终确定选择切比雪夫Ⅱ型滤波器为模拟原型低通滤波器，通过频率转换成满足具体指标的带通滤波器，根据脉冲响应不变法映射成期望的数字带通滤波器实现1/3倍频滤波。

切比雪夫Ⅱ型低通滤波器的幅度平方特性为

(11)

式中：ε为波纹系数，由通带内的允许波纹确定；ωc为通带截止频率；TN(x)是N阶切比雪夫多项式，即

(12)

其递推计算公式为

(13)

模拟原型低通滤波器ωc=1 rad/s，通过频率-频率变换规则映射到最终的模拟带通滤波器上，变换规则为

s←(s2+ωHωL)/s(ωH-ωL)

(14)

根据所需设计指标设计好模拟带通滤波器Ha(s)，u(t)是单位阶跃函数，模拟滤波器的脉冲响应为

(15)

对此脉冲响应进行采样，并乘以周期T，得到等价的脉冲响应序列

(16)

对he(n)求Z变换，得到等价的数字钟滤波器的传递函数He(z)为

(17)

经傅里叶变换，可得等价数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应之间的关系为

(18)

根据以上数字滤波器构造原理，基于MATLAB设计满足每个1/3倍频程滤波要求的IIR带通滤波器，将滤波器应用于F-TWQI计算过程中各个1/3倍频的分解，各频带标准差根据中心频率按图1确定权重系数，求和得出赋权后的F-TWQI。表1为滤波器设计中各1/3倍频划分的频带信息。图4为设计滤波器的幅频特征，其设计指标为通带截止频率范围0.111 4～0.140 3 Hz(对应波长范围7～9 m),阻带截止频率下限为0.01 Hz(对应波长为100 m)，截止频率上限为0.2 Hz(对应波长为5 m),通带边衰减设为0.1 dB，阻带边衰减设为30 dB,采样频率为4 Hz。图5为轨检车实测不平顺幅值数据，按上述设计带通滤波器滤波前后对比结果对比。图6为在该数据下按1/3倍频滤波后各频带标准差对应权重系数大小。

表1 滤波器设计中各1/3倍频划分

图4 幅值特征

图5 滤波前后结果对比

图6 频带标准差及权重

4 实例分析

轨道不平顺数据样本选取某高速线路K793+850—K860+019区段2015-04-09 GJ型轨道检查车检测数据。由于轨道不平顺数据较多，本文仅列出了左、右高低原始不平顺幅值数据，如图7所示。

图7 左、右高低不平顺幅值

图8、图9分别为该区段轨道左、右高低不平顺的单项指标TQI、单项标准差F-TWQI、单项标准差E-TWQI以及轨道不平顺激励下的UIC513舒适性指标。为了便于描述，图中对每200 m轨道单元区段进行编号，将区段的轨道不平顺分为60个单元区段。

图8 左高低的轨道不平顺加权质量指数

图9 右高低的轨道不平顺加权质量指数

由图8、图9可知，F-TWQI与TQI的变化和趋势基本相同，但前者幅值有一定程度的增大，比较两者的波形可知，F-TWQI的波形变化较TQI的波形变化更剧烈，这说明在轨道几何形位幅值相同的情况下，不平顺波长同样对轨道质量有着很大的影响，TQI从幅值角度来评判轨道不平顺状态，并不能反映车辆运行的状态。加权轨道不平顺放大了对车辆运行舒适性影响较大的波长成分，减小了对车辆运行舒适性影响较小的波长成分。采用F-TWQI指标可以更有效地对区段不平顺不同波长进行评价，从而解决实际养护维修中欠维修和过维修的问题。比较可得，相较于TQI， F-TWQI、E-TWQI两者的波形图变化特征与UIC513舒适性指标波形图变化特征具有较好的一致性，且F-TWQI一致性高于E-TWQI。结果表明，基于带通滤波器1/3倍频程滤波的方法与EMD分解相比，前者更能准确地反映轨道实际的平顺状态。为了更为直观，表2列出了该区段的左、右高低不平顺的TQI、F-TWQI、E-TWQI与UIC513舒适度指标之间波形图变换特征的相关系数。

表2 TQI、F-TWQI、E-TWQI 单项指标与UIC513舒适性指标之间的相关系数

由表2可知，TQI处于0.60～0.70，F-TWQI、E-TWQI与UIC-513之间的相关系数均大于0.70，说明轨道加权质量指数能更好的反映车辆运行的舒适性。E-TWQI处于0.70～0.75，F-TWQI处于0.80～0.85,表明F-TWQI具有更好的相关性，说明滤波器滤波能有效避免EMD分解算法的端点效应，更精确地完成不同波长的分离。

5 结 论

本文在结合现有轨道不平顺评估方法的研究基础上，提出一种基于带通滤波的轨道不平顺敏感波长计权评价方法。利用带通滤波器按1/3倍频滤波得到不同频程范围的不平顺幅值数据分量，按中心频率赋权得到计权标准差，最后求和得出轨道加权质量指数(F-TWQI)。比较F-TWQI、E-TWQI、TQI与UIC-513舒适性指标的相关系数，可以得到如下结论：

(1) TQI、F-TWQI、E-TWQI与UIC-513舒适性指标间相关系数分别位于0.60～0.70、0.70～0.75、0.80～0.85，加权质量指数具有更高的相关系数，即说明轨道加权质量指数在考虑了波长因素的情况下，能更好地反映实际的轨道状态。

(2) E-TWQI与F-TWQI两种算法相比，由赋权算法流程图可知，前者赋权过程明显滞后于后者，F-TWQI计算效率具有明显的时效优势；F-TWQI与E-TWQI相比，两者波形图变化特征与UIC-513舒适性指标变化特征的相关系数分别位于0.80～0.85、0.70～0.75，F-TWQI具有更高的计算精度。

综上，利用实测轨道不平顺数据对比分析发现，引入权重的轨道加权质量指数，将波长因素纳入考虑范围可以更科学地评估轨道状态；将数字滤波器的优势合理用于不平顺不同频带范围波形分量的分离，可以更快速、准确地完成不同波长成分的分解，解决当前主要计权方法存在缺陷的问题，如基于滤波器滤波能避免EMD分解的端点效应、小波分解计权曲线分辨率过低等问题；该方法对敏感波长的管理提供一种新思路，对快速、准确分析铁路工务的潜在安全隐患并做到防患于未然具有重要意义。