一道推理证明题的多解探究

王青楠

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2019）01-02002-01

在学习推理与证明一节内容时，笔者对一道填空题进行了多解探究，并将结论进行了推广。现整理成文，与大家分享。

题目：若a，b，c是RtΔABC的三条边，其中c为斜边，则aⁿ+bⁿ与cⁿ（n>2，n∈N）的大小关系为。

解法1：（构造幂函数法）

在RtΔABC中，a²+b²=c²，且a2，n∈N时，，所以

点评：本解法利用了同向不等式的可加性，将aⁿ+bⁿ传递到cⁿ，其中不等式a^n-2n-2和b^n-2n-2利用了幂函数y=x⁰的单调性。另外本题中并没有利用到n∈N这一条件，这说明命题对n>2，n∈R也成立，所以我们可以得到推论1。

推论1：若a，b，c是Rt△ABC的三条边，其中c为斜边，则有aⁿ+bⁿn（n>2，n∈R）成立。

解法2：（构造指数函数法）

在RtΔABC中，a²+b²=c²，且a

点评：本解法同样利用了同向不等式的可加性，只不过后面用到了指数函数的单调性。

解法3：（解直角三角形，边角转换法）

在RtΔABC中，a=csin A，b=ccos A，则aⁿ+bⁿ=cⁿsinⁿA+cⁿcosⁿA=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA），因为角A为锐角，所以sinA∈（0，1），当n>2，n∈N时，则sinⁿA2A，cosⁿA2A，所以cⁿ（sinⁿA+cosⁿA）n（sin²A+cos²A）=cⁿ，从而有aⁿ+bⁿn。

点评：解三角形的本质是将三角形的边与角进行互相转化。本解法巧妙地运用a=csin A，b=ccos A，将问题转化为比较sinⁿA与sinⁿA，cosⁿA与cos²A的大小，从而利用三角恒等式sin²A+cos²A=1解决问题。

解法4：（二项式定理法）

在RtΔABC中，a2+b²=c²，所以

当n为偶数时，设n=2k，且k∈N*，则cⁿ=（2²+b²）k>a²k+b²k=aⁿ+bⁿ;

当n为奇数时，设n=2k+1且k∈N*，则

综上，对任意n>2，n∈N，都有aⁿ+bⁿn。

点评：不等式可由二项式定理推導证明。考虑到在钝角三角形ABC中，若C为钝角，且a，b，c分别是角A，B，C的对边，有a²+b²2成立，可以得到推论2a

推论2：在钝角三角形ABC中，若C为钝角，且a，b，c分别是角A，B，C的对边，则有aⁿ+bⁿn，n2。（证明留给读者思考）

在学习类比推理时，曾经将勾股定理推广到直四面体S-ABC中，过顶点S的三条棱两两垂直，则。联想此结论可得到推论3。

推论3：对于n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n均小于c，（证明留给读者思考）

美国著名数学家波利亚曾说：“当你找到第一个蘑菇或做出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长的。”总之，在平时解题时我们不能仅仅满足于得出答案，而应该从不同视角去思考问题，甚至可以将问题进行一般化推广，往往会有横看成岭侧成峰的效果，一题多解其乐融融。