2019年数学建模B题“同心协力”策略研究

蔺深 刘焱

摘要：随着社会的发展，企业不再局限于只注重个人的能力，还强调团队协作能力。“同心协力”是一项团队协作能力拓展项目。该项目以团队各人员用绳牵拉牛皮鼓颠球，通过计数合格的颠球数量进行比拼。本文对此项目进行研究，综合数学与物理学知识建立一阶非线性微分方程[1]和二阶微分方程组数学模型，分析颠球与团队合作的关系。

关键词：一阶非线性微分方程;二阶微分方程;牛顿第二定律;刚体转动定律

一、引言

在建模题中，假设每个人都可以精确控制用力方向、时机和力度的理想状态，要得到最佳协作策略，结合数学与物理学知识，利用牛顿第二定律建立一阶非线性微分方程模型，分别以球、鼓为研究对象求出若干分钟后稳定状态下的球下落（鼓上升）的时间、人拉绳所产生的合外力及最佳颠球高度。

在现实问题中，队员位置、发力大小和发力时机不精准会致使鼓面产生倾斜，利用刚体转动定律，建立二阶微分方程组模型，研究队员发力时机、力度和某一特定时刻的鼓面倾斜角度的关系。并利用控制变量法分3类细化讨论，通过控制变量F、ri，研究鼓倾斜角θ与时间t的关系;通过控制变量F、t，研究鼓倾斜角θ与ri的关系;通过控制变量ri、t，研究鼓倾斜角θ与F的关系。依据题目表格数据中给出的队员们不同发力时机和力度，解出0.1s时不同情况下鼓面的倾斜角度θ。

二、研究结果

（一）理想状态下的研究

本文以竖直向下为正方向、竖直向上为负方向建直角坐标系，已知球下落的时间与鼓上升的时间相同。以“球在空气中运动”的状态将常数取值，则取空气密度ρ气=1.29×10-3kg·m-3（20℃时）。垂直下落的球受到重力mg、空气浮力ρ气Vg和空气空气黏滞阻力三个力的作用，其中m为球的质量，M为鼓的质量，g为重力加速度，V为球的体积，Cd为空气阻力系数，S1为球的最大横截面积，S2为鼓的最大横截面积，v1为球相对于空气的速度，v2为鼓相对于空气的速度。

根据牛顿第二定律分别列出关于球和鼓的方程：

利用MATLAB计算得出结论：在45N力的作用下，高度随时间的增加而增加，由图中点的坐标可知在该点以后符合题目要求“颠球高度0.4m以上”，解得t≥0.34。

由题目条件“颠球次数尽可能多”可知：颠球一次所用时间越短，在相同时间内累计颠球次数就越多，所以取0.34s为一次颠球所用时间，则高度为h=s1+s2=0.4053m。

（二）现实状态下的研究

假设同心鼓为一刚体，不同位置的人向上拉时，同心鼓做刚体转动，因为同心鼓为空心的，假定同心鼓为一圆盘，同心鼓做刚体转动，如图1。

由刚体转动定律列出如下二阶微分方程组：

该方程组用于研究队员发力时机、力度和某一特定时刻的鼓面倾斜角度的关系，其中φ变化很小，近似当做恒定值。从得出倾斜角θ与F的关系，倾斜角θ与时间t的关系结果，队员站位如图3。

第一组数据，绳1用90N力，鼓面旋转的转轴过绳5与鼓的接点，故产生倾角的力矩可分为4组类别。当力臂分别为0.06、0.2、0.34时两两对应力矩相等，即产生的倾角相同。

计算公式为：（0.020817+0.06939+0.117963）×2+0.13878=0.6939

第二组、第三组依据数据同理可得0.1s时鼓面倾角分别为0.4850、1.0871。

第四组数据时，绳1提前0.1s施力，鼓面旋转的转轴过绳5与鼓的接点，同理产生倾角的力矩分为4组类别。当力臂分别为0.06、0.2、0.34时两两对应力矩相等，即产生的倾角相同。计算过程同上，得到0.1s时鼓面倾角为0.8635。

第五、六、七组计算公式同上，得0.1s时鼓面倾角分别为1.1411、0.9375、0.9251。

第八组数据仅有力臂为0.06时存在对称情况，故计算过程为：0.018504×2+0.24672+0.06939+0.419424+0.117963+0.12336，得到0.1s时鼓面倾角为1.0139。

第九组数据中，对90N力和提前0.1s单独分析前半阶段求得倾角为0.937536，后半阶段求得倾角为0.476478，综合考虑两方面影响因素，得0.1s时鼓面倾角为0.461058。

根据9组数据得出9个不同状态下的鼓面倾角，同时可知不同状态下的作用都对鼓的倾角有影响，因此也可说明队员们团结协作的重要性。

三、结论

本文综合考虑数学与物理学知识，建立一阶非线性微分方程和二阶微分方程模型研究“同心协力”拓展项目。建立的模型依据坚实可靠的数学基础和物理基础，且易于实现。但是现实颠球进行时受各种各样不确定因素，本文不能完全将所有的影响因素纳入计算，所得的数据结果依然存在误差。并且本文中利用了刚体转动定律，对于非工科或物理专业的人有一定的难度。

参考文献：

[1] 司守奎，孙兆亮.數学建模算法与应用，北京：国防工业出版社，2018.9.

[2] 鞠衍清.垂直下落球体运动的数值分析，大学物理，第27卷第11期：11-14，2008.

[3] 马文蔚.物理学教程（第二版）[M].高等教育出版社，2006.

[4] 周衍柏.理论力学教程（第三版）[M].高等教育出版社，2009.

作者简介：蔺深，女，汉族，山东省莱芜市，1999.10，大学本科，旅游管理专业;

刘焱，女，汉族，研究生，讲师，研究方向：数学建模。