立足认知结构 探究变式策略

■李琳琳

对于数学变式问题的分类，有许多不同的分法，笔者这里倾向于常州市特级教师潘建明老师的界定，将变式分为概念变式和过程变式，过程变式又分为水平变式和垂直变式。变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学策略，在教学过程中要合理运用不同的变式策略，立足学生的认知结构，逐步推进，层层深入。

一、巧用概念变式，促进知识内化

初中数学中有大量的概念，它是数学知识的重要组成部分，也是导出数学定理和法则的逻辑基础。学生对数学概念的掌握会受许多因素的影响，其中的变式至关重要。概念变式不变的是概念的本质属性，变的是概念的非本质属性。概念变式的目的是为了让学生经历概念形成过程，即概括、抽象、具体化，从而使学生获得的概念更加准确、更加深刻。这里的概念变式我们分为标准概念变式（即概念外延的变化）和非概念变式（即举反例）。

[案例1]在学习苏科版八年级下册“11.1反比例函数”时，笔者给出了三个实际问题情境，用函数关系式表示下列情境中两个变量之间的关系:

（1）小明家距离学校5000m，他到校的时间y（h）随骑车速度x(m/h)的变化而变化；

（2）已知菱形的面积为24cm2,一条对角线长n（cm）随另一条对角线长m（cm）的变化而变化；

（3）实数a与b的积为-10，a随b的变化而变化。

师：很好，请同学们观察这三个式子有什么共同特征？你能用一个一般的式子表达出来吗？

生2：都有两个变量。

生3：都是函数。

生4：函数的右边都是一个分式。

生6：k≠0，自变量x≠0。

师：你能否对这种函数下个定义呢？

师：请判断哪些是反比例函数？

学生开始辨析反比例函数的形式，师生共同总结反比例函数的另外两种形式。

此案例属于标准概念变式，这里通过三个实际背景的问题情境，变换反比例函数的非本质属性，引导学生抽象出反比例函数的本质属性。在概念的教学中我们既要注重对概念的传授，也不能忽视概念的背景介绍，要让学生先抓住事物的本质属性，再给学生创造从多个侧面、多个角度去理解概念的机会。

[案例2]在学习苏科版七年级上册“6.3余角、补角、对顶角”时，对顶角的概念学生比较容易混淆。我们可以通过非概念变式来进行辨析，使学生轻松掌握对顶角的概念。

概念图像

非概念变式图像

在概念形成以后，应针对概念的内涵和外延设计辨析型题目，可以列举具有本质属性的事物或不具有该本质属性的事物的辨析，达到深化概念理解的目的。另外，概念变式的运用要掌握时机，如果在学生没有形成初步概念时就运用变式，将会干扰学生对概念的理解，所以我们要关注对概念变式教学的合理运用。

二、活用过程变式，联系知识结构

过程变式是指，学生通过概念、定理、命题等的学习过程，获得多层次的活动经验。在概念、定理、命题形成的过程中，过程变式反映了它们形成的历史过程和逻辑过程，在这样一个过程中，学生的新旧知识之间的联系得以建立，解题的经验和策略得以积累和提升。

过程变式中最具代表性的是水平变式和垂直变式。水平变式通常变更问题的背景，在同一思维水平上解决同一类问题。我们在教学中常用的策略有：（1）变换背景；（2）特殊到一般；（3）基本图形变式；（4）条件结论变式；（5）实际应用。垂直变式是思维逐步深入的过程，由表层学习转向结构学习，问题逐渐升华，进而加深对数学深层次价值和数学本质的体会。

[案例3]在学习苏科版九年级下册“6.4探索三角形相似的条件（2）”时，给出例题:

已知：如图1，∠A=∠E=∠BCD=90°，图中存在相似三角形吗？并说明理由。

变式1.已知：如图2，∠A=∠E=∠BCD=70°，图中存在相似三角形吗？并说明理由。

变式2.已知：如图3，∠A=∠E=∠BCD=130°，图中存在相似三角形吗？并说明理由。

图1

图2

图3

以上的源问题与两个变式问题中，给出的度数不同，图形也不同，但解决问题的方法是相同的，思维量是相当的，学生能感受到多题可以一解。实际上这是我们总结的相似问题中的“一线三等角”模型，水平变式有助于学生对数学模型的认识和解题策略的认识，改变学生孤立、静止地看待问题的思维习惯，帮助他们把握数学的内在规律，形成“以不变应万变”的能力。

数学教学中结构性变式的设计遵循认知的连续性，通常是从源问题到变式题，从水平变式到垂直变式，水平变式发展学生思维的广度，垂直变式发展学生思维的深度。但在教学中还要注意合理安排水平变式的“量”和垂直变式的“度”，才能达到既有量的积累，又有质的飞跃。