基于活动经验的课堂尝试——以“反比例函数的图像和性质1”为例

■蒋瑾鑫

教学设计

苏科版教材中，“反比例函数的图像和性质”安排了两个课时。第1课时是用描点法画图像；第2课时是通过归纳反比例函数图像的特征，研究图像的增减性和对称性。从一次函数到反比例函数，函数图像由一条变成两支，形态由直到曲，由连续到间断，由与坐标轴相交到与坐标轴渐近，对学生的认知是一次大的挑战。第1课时画图后，反比例函数图像已呈现明显特征，为了让学生更好地整体感知图像和性质，本节课上笔者引导学生在画图像的过程中进行探究，不断积累活动经验，从几何直观的角度，发现曲线、分为两支、分布区域、与坐标轴无限靠近但不相交等反比例函数图像特征，为后续学习反比例函数性质做好铺垫。

一、教学前的思考

“反比例函数的图像和性质1”在教材中的安排：

（1）x、y的值可以为0吗？这个函数的图像与x轴、y轴有交点吗？

（2）x、y所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？

（3）当x＞0时，随着x的增大（减小），y怎样变化？当x＜0时，随着x的增大（减小），y怎样变化？这个函数的图像与x轴、y轴的位置关系有什么特征？

这是一个由“数”思“形”的环节，不仅传承了技术操作的价值，而且为学生学习函数图像搭建了发展平台。如何将编者的用意转化成教与学的形态？笔者思考了以下问题：

基于这些思考，笔者认为本节课可以从以下四个方面展开教学：

（1）由“数”思“形”，探究函数表达式的“式结构”，猜想它的“形结构”，画出函数大致的模样；（2）为“数”画“形”，用“列表、描点、连线”的方法规范画图，验证猜想，让“数”与“形”一致；（3）由以上过程中的活动经验继续猜想和验证y=-的图像；（4）观察图像，找出反比例函数图像的位置特征，为第2课时研究反比例函数的性质做好铺垫工作。

二、问题驱动下的活动设计

活动1：复习和引入。

问题1：上节课学习了反比例函数的概念，请同学们回忆：什么样的函数是反比例函数？

设计意图：直接引入反比例函数的话题，强调反比例函数表达式中k、x、y的取值，为后续研究“式结构”埋下伏笔。

问题2：你认为还要研究哪些关于反比例函数的内容？你怎么知道的？

设计意图：让学生明晰研究函数的基本思路是“概念→图像→性质→应用”。这一思路在一次函数的学习中就有所体现，也将是以后学习其他函数的思路。

问题3：一次函数图像是什么？举个具体的例子，说一说函数图像是怎么得到的？

设计意图：引导学生回忆一次函数图像的画法是“列表（找两对变量的值）、描点、连线（两点确定一条直线）”，以此引发思考：如何研究反比例函数图像？

问题4：根据画一次函数图像的经验，你能画出反比例函数y=的图像吗？

设计意图：由于刚刚复习了一次函数图像的画法，根据经验，有些学生会取两个满足表达式的点，画出直线图像；有的学生一筹莫展，无从下笔。这个陷阱的设计就是要暴露学生的思维缺陷，激发他们思考：反比例函数图像可不可以类比一次函数图像，找两个点坐标就能画出？这样的猜想哪里不对？这也是接下来以“数”思“形”教学片段的探究素材。

问题5：同学们所画的图像有什么问题？说明理由。

设计意图：通过这个问题，教学自然地进入到“为什么不先画反比例函数图像，而要先探究这个图像的特点，猜想反比例函数图像大致样子”的情境。如：图像不能与坐标轴相交，因为表达式中的x与y都不等于0；x可取正数与负数，相应的y与x同号，说明图像不可能画在第二、四象限，应该在第一、三象限呈现；肯定所画图像下降趋势的合理性，因为无论x为正数，还是负数，从表达式看，在各象限内，y都能随x的增大而减小。

问题6：结合以上分析，同学们是否能大致画出反比例函数y=的图像？试一试。

设计意图：根据“式结构”，通过纠错、分析、判断，增加学生在画图前分析图像特征的活动经验。这里主张学生独立作业，以培养学生的想象力和判断力。

问题7：如何说明你猜想的大致图像是正确的？请展示你所画的比较精准的图像。

设计意图：引导学生回答，通过“列表、描点、连线”的方法画出的图像才能比较精准。然后引导学生思考：如何列表？表达式、列表、图像都是表达函数的三种方式，而表格中的数据会呈现一定的规律，对后面研究函数图像和性质都有提示作用。这一活动经验与画一次函数图像时列表相比，是新的，需要学生全面思考，也需要教师适当引导。在不断更正中，学生了解了列表的重要性，列出如下的表格：

x y=6 x… …-6-1-3-2-2-3-1-6 1 6 2 3 3 2 6 1… …

学生在列表成功后，自信心大大增强，根据以往经验，描点应该比较顺利。但是在最后的连线环节，又出现了思维火花的碰撞：点与点之间怎么连？学生会出现比较常见的两种错误：用折线连接，或用圆弧连接。

问题8：为何采用了比较精准的画图的方法，还是会有很多疑惑？

设计意图：让学生感知，画图时，点越少，越不能把握图像形态；反之，点越多，图像形态就越明确，但是这在实际操作中，会比较麻烦。因此，可以借助几何画板来实现点的增加，让学生再一次感受图像的形态，感受用平滑曲线连接各点的合理性。这又成为学生画函数图像的一个新经验。

设计意图：反思活动过程，积累活动经验，学以致用，提高数学素养。

活动4：观察反比例函数图像，图像呈现了哪些特征（结合之前“式结构”的分析）？

设计意图：本环节主要让学生关注两个反比例函数图像的一致性和位置区别，感受反比例函数图像由两条断开的分支组成，不与坐标轴相交，但会无限靠近坐标轴。另外，对于图像所在象限的不同，学生能猜测出是k的作用；两个图像具有对称性，学生也可以直观看出。这为后续探究反比例函数的性质做好了铺垫。

设计意图：引导学生总结知识点，同时积累本课中新的学习方法和活动经验。有了经验的积累，学生对一个陌生的函数便会有想要尝试的动力和自信。

三、教后反思

1.保护学生的好奇心是激发求知欲的前提。

好奇心是个体学习的内在动机之一，是学生主动观察、积极探索的强大动力。上课前一天，笔者与学生见面后，没有布置任何预习作业，也没有告知上课的课题，目的就是希望学生保持一颗好奇心，课堂能回归最朴质的状态。事实上，从课后学生的反馈以及与学生所在班级任课教师的交流来看，学生们还是非常喜欢这样的学习方式的。不过遗憾的是，上课时并没有很多学生积极发言，其实很多学生已经有答案了。可能是笔者的询问方式，或者教学环境等，让他们有了紧张感。

2.发现问题和解决问题是互动生成的关键。

问题是数学的心脏。本节课设计了5个活动环节，每个环节都是以提问的方式，层层递进。有些问题是知识本身的需求产生的，有些问题是学生在活动时自然生成的，通过学生们的讨论和笔者的适当点拨，都可以一一化解。学生的理解力得到了提升，知识与技能也不断被掌握。

3.积累活动经验是教学设计的重要环节。

教材几乎在每一课都设置了“数学实验室 ”“ 思 考”“ 讨论”“操作 ”“尝 试 ”“ 探 索 ”等 让 学生活动、思考、合作交流的教学环节。这样安排的用意是什么？数学核心素养怎么形成？数学核心素养是不依赖记忆与模仿的，而是依赖理解与思考，这是日积月累的，同时需要教师引领。所以在设计本节课时，笔者站在学生的角度，以探究为主线，启发学生不仅关注知识结果，更应重视探究过程，走向以人为本、以素养为本的教学。数学活动经验是长时间经历和感悟数学合情推理与演绎推理后的结果。本节课中，通过一探图像，再探图像，学生在合作探究中不断更正，不断猜想，接近事实。事实上，通过探究，学生不仅获得了知识，更重要的是积累了基本的活动经验。